孪生素数
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孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素數定理中描述的素数分布规律相类似。
与之相关的，两者相差为1的素数对只有 (2, 3)；两者相差为3的素数对只有 (2, 5)。
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[编辑] 序列
以下列出了最小的35对孪生素数： (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
至2006年，已知最大的孪生素数为 100314512544015 · 2171960 ± 1，由匈牙利人Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza, Antal Járai发现。这两个数都有51780位。[1]
[编辑] 性质
- 收敛性
使用著名的筛选理论（Sieve theory），挪威的布朗（Viggo Brun，Viggo Brun）发现小于 x 的孪生素数的个数远小于 x / (logx)2。这表明，所有孪生素数的倒数之和收敛，即收敛到布朗常数（Brun's constant）。与之相对的，所有素数的倒数之和是发散的。布朗还证明了所有偶数能表示成两个最多有9个素数因子的数的和（“9+9”）。这些工作是陈景润证明“1+2”的基础。
- 结构
大于3的孪生素数可以表示成 (6n - 1, 6n + 1)，其中n为一个自然数。除了 n = 1 的情形，n必须以0，2，3，5，7或8结尾。
- 定理
可以证明 (m, m + 2) 是孪生素数，当且仅当
- 统计分析
统计分析所有小于 4.35 · 1015 的孪生素数，可以得到小于 x 的素数对的个数是 x·f(x)/(log x)2。当 x 较小时，f(x) 大约为 1.7， 当 x 较大时大约为 1.3。f(x) 的值和孪生素数常数（twin prime constant）相近：
[编辑] 多元组
孪生素数的概念可以扩展到多元组，即由多个间隔为2的素数构成的序列。由于三个相邻整数总有一个能被3整除，不可能是素数，因此 (3, 5, 7) 是唯一的孪生素数三元组。而且由于更多元素构成的孪生素数多元组必定包含三元组的结构，因此多于三个元素的孪生素数多元组不存在。
[编辑] 注释
- ↑ （英文） Twin Primes
