Nombre transcendent

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Naturals ℕ Negatius Enters ℤ Racionals ℚ Irracionals Reals ℝ Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i :=

Nombres amb propietats destacables

Primers , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Trascendents

Extensions dels nombres complexos

Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions Octonions Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre) Cardinals Infinit Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

Un nombre trascendent és aquell que no és arrel de cap polinomi enter. Tot nombre trascendent és a més irracional, però la proposició inversa no és certa, no tot irracional es trascendent. Els irracionals que no són trascendents s'anomenen algebraics. El 1873 es va demostrar que e és trascendent, i el 1882 que π també ho és. En canvi no se sap si e^e és trascendent o simplement irracional. De fet, la prova que π; és trascendent demostra la impossibilitat del famós problema de la quadratura del cercle.

La manca d'una regla general per poder determinar si un nombre determinat és o no trascendent és el que dugué David Hilbert a incloure aquest problema dins la seva llista de 23 problemes. Una solució parcial la dóna el teorema de Gelfond, que proporciona una regla general per determinar si en certs casos especials α^β és trascendent: en concret ho és quan α és algebraic (α ≠ 1) i β és irracional i algebraic.

[edita] Alguns nombres trascendents

• e: demostrat per Hermite (1873).
• π: demostrat per Lindemann (1882).
• e^π: demostrat per Gelfond (1934).
• sin 1: demostrat per Hardy i Wright (1979).
• ln 2: demostrat per Hardy i Wright (1979).