초월수

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수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3,-4/7,...} 무리수 $\mathbb{R}$ 실수( $\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$ ) 허수 $\mathbb{C}$ 복소수 $\mathbb{R}(\mathrm{i})$ 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 16원수 Superreal 초실수 Surreal
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ π 파이 ≈ 3.14159 26535 ... e (상수) ≈ 2.71828 (∉ $\mathbb{Q}$ ) ∞ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β^* - δ - α - C₂ - M₁ - B₂ - B₄ - Λ - K - K - K - B´_L - μ - E_B - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

초월수(超越數)는 어떠한 정수계수의 다항식으로 이루어진 방정식의 해도 될 수 없는 복소수이다. 대수방정식의 해가 될 수 있는 수인 대수적 수와 반대 개념이다.

대수적 수의 집합은 가산집합이고, 이에 비해 복소수의 집합은 비가산집합이고, 따라서 초월수의 집합은 비가산집합이 된다. 이것은 대수적 수의 갯수보다 초월수의 갯수가 많다는 것을 뜻한다. 하지만 지금까지 잘 알려진 초월수는 많지 않고, 어떤 수가 초월수임을 증명하는 것은 힘든 편이다.

초월수의 존재는 1844년 조제프 리우빌이 처음 발견했다. 그는 실제 초월수의 예를 제시하기 위해 리우빌 상수를 다음과 같이 정의했다.

$\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000....$

초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만들어진 수가 아닌 수 중에서 처음으로 초월수임이 증명된 수는 e로, 샤를 에르미트가 1873년에 증명했다. 1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 원주율 또한 초월수임을 증명했다. 1874년에는 게오르크 칸토어가 앞에 설명된 논리를 통해 초월수의 집합이 비가산임을 보여주었다.