Číselná soustava

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Číselná soustava je způsob reprezentace čísel. Podle způsobu určení hodnoty čísla z dané reprezentace rozlišujeme dva hlavní druhy číselných soustav: poziční číselné soustavy a nepoziční číselné soustavy. V praxi se však také používaly způsoby reprezentace používající postupy z obou těchto druhů. Dnes se obvykle používají soustavy poziční.

Obsah

1 Základní informace
2 Způsoby zápisu
- 2.1 Poziční zápis
- 2.2 Polynomiální zápis
3 Převody
4 Zajímavosti
5 Podívejte se také

[editovat] Základní informace

Čísla se skládají z uspořádané množiny symbolů, nazývaných číslice a z relací mezi čísly definovaných pro jednotlivé aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení).

Základ či báze (anglicky radix) číselné soustavy (značí se r) definuje maximální počet číslic, které máme v dané soustavě k dispozici.

Mezi číselné soustavy nejčastěji používané patří:

desítková (dekadická, r=10)
dvojková (binární, r=2)
osmičková (oktalová, r=8)
dvanáctková – dnes málo používaná, ale dodnes z ní zbyly názvy prvních dvou řádů – tucet a veletucet
šestnáctková (hexadecimální, r=16)
šedesátková – používá se k měření času. Číslice 0–59 se obvykle zapisují desítkovou soustavou

Každé číslo vyjádřené v těchto soustavách může mít část celočíselnou (před desetinnou čárkou či tečkou používanou v anglosaských zemích) a část desetinnou (za desetinnou čárkou). Uvedené soustavy řadíme mezi polyadické, ve kterých se číslo vyjadřuje součtem mocnin základu dané soustavy vynásobených příslušnými platnými číslicemi.

Existují i soustavy, které využívají odečítání. Příkladem budiž trojková soustava, která obsahuje znaky s významem -1, 0, +1. Poziční zápis se vyhodnocuje podobně jako u běžné trojkové soustavy, ale tato soustava umožňuje přímo zapisovat záporná čísla a rozsah čísel o n znacích je ${\pm}\frac{3^n-1}{2}$ . Tato soustava je vhodná pro obvody s třístavovou logikou.

[editovat] Způsoby zápisu

[editovat] Poziční zápis

Představuje pozice každé číslice v daném čísle její relativní váhu významnosti.

Obecně platí, že kladné číslo může být zapsáno pozičně následovně: $N = (n_{k-1}n_{k-2}...n_{1}n_{0}{,}n_{-1}n_{-2}...n_{-l})_r\,\!$ , kde $n_{k-1}\,\!$ je nejvyšší významová číslice (MSB), $n_{-l}\,\!$ nejméně významová číslice (LSB) a r základ číselné soustavy.

Například Ludolfovo číslo v číselné soustavě o základu 10 a s přesností na 2 desetinná čísla lze zapsat pozičně následovně: $\pi = (3{,}14)_{10}\,\!$

[editovat] Polynomiální zápis

Obecně lze zapsat číslo v číselné soustavě o základu r polynomem následovně: $N = \sum_{i=-l}^{k-1}n_i{\cdot}r^i = n_{k-1}r^{k-1}+n_{k-2}r^{k-2}+...+n_0r^0+n_{-1}r^{-1}+...+n_{-l+1}r^{-l+1}+n_{-l}r^{-l}$

Každá číslice je zde vynásobena vahou danou její pozicí a vyjádřenou mocninou o základu.

Například: $\pi = (3{\cdot}10^0+1{\cdot}10^{-1}+4{\cdot}10^{-2})_{10}\,\!$

[editovat] Převody

Pro převod čísla ze soustavy A do soustavy B lze použít:

metodu substituční při použití aritmetiky soustavy B
pro čísla celá metodu dělení základem a pro čísla desetinná metodu násobení základem

[editovat] Zajímavosti

Desítková soustava má pravděpodobně původ v počtu prstů na obou rukou.

Dvanáctková soustava Sumerů je dávána do spojitosti s šestiprstou lidskou rasou, která se vyskytuje v mýtech různých národů. Druhým prozaickým důvodem pro toto soustavu ale může být snazší dělení na třetiny oproti desítkové soustavě.