Dvojková soustava

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dvojková soustava (Binární soustava) je číselná soustava která používá pouze dva symboly - nejčastěji 0 a 1. Dvojková soustava je poziční číselná soustava mocnin čísla 2. Používá se ve všech moderních počítačích, neboť její dva symboly (0 a 1) odpovídají dvěma stavům elektrického obvodu (vypnuto a zapnuto). Číslo zapsané v dvojkové soustavě se nazývá binární číslo.

[editovat] Výpočet hodnoty

Výpočet hodnoty binárního čísla, které se skládá z $k + 1$ číslic $x_0 x_1 \ldots x_k$ , každé o hodnotě buď 0, nebo 1, se provádí takto:

$x=\sum_{i=0}^k {x_i}\cdot2^{k-i}$

Tedy například číslo ve dvojkové soustavě zapsané 11010110 znamená v desítkové soustavě číslo 214:

$\ x_0 = 1; x_1 = 1; x_2 = 0; x_3 = 1; x_4 = 0; x_5 = 1; x_6 = 1; x_7 = 0$

$(11010110)_2 = \sum_{i=0}^7 {x_i}\cdot2^{7-i} = x_0\cdot 2^7 +\ x_1\cdot 2^6 +\ x_2\cdot 2^5 +\ x_3\cdot 2^4 +\ x_4\cdot 2^3 +\ x_5\cdot 2^2 +\ x_6\cdot 2^1 +\ x_7\cdot 2^0 =$ $= 1\cdot 2^7 +\ 1\cdot 2^6 +\ 0\cdot 2^5 +\ 1\cdot 2^4 +\ 0\cdot 2^3 +\ 1\cdot 2^2 +\ 1\cdot 2^1 +\ 0\cdot 2^0 = 128\ +\ 64\ +\ 16\ +\ 4\ +\ 2\ = (214)_{10}$

rozepsané číslo	1	1	0	1	0	1	1	0
násobeno	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
rozepsaný násobek	128	64	32	16	8	4	2	1

Pro převod mezi soustavami se používají tyto metody:

[editovat] Zobrazení záporných čísel

Jedním z problémů při ukládání binárních čísel v počítači je způsob záznamu záporných čísel, neboť pro číslo je k dispozici jen omezený počet bitů.

[editovat] Přímý kód

První možný způsob je vyčlenění prvního bitu jako znaménka. Pokud například binární číslo 00000001 vyjadřuje jedničku, pak 10000001 označuje -1.

Tento způsob ale komplikuje algoritmy pro praktické počítání – nejprve je vždy třeba testovat znaménkový bit a podle výsledku provést sčítání nebo odčítání. Navíc je třeba mít pro sčítání a odčítání různé algoritmy. Další nevýhodou je, že existují dvě reprezentace čísla nula – kladná nula a záporná nula. Proto byl později objeven doplňkový kód pro záznam záporných čísel.

[editovat] Doplňkový kód

Při kódování v doplňkovém kódu je záporné číslo zaznamenáno jako binární negace (záměna všech 0 za 1) původního čísla zvětšená o 1. Úvodní bit má v tomto kódu opět význam znaménka. Využívá se faktu, že při odečtení čísla 00000001 od čísla 00000000 dojde k přetečení, a výsledkem je číslo 11111111.

V tomto kódu už existuje jen jediná reprezentace čísla nula, ani není zapotřebí speciální algoritmus pro odečítání.

Příklad: pokud 00001101 je binární vyjádření čísla 13, pak -13 se vypočte jako 11110010 + 1 = 11110011

Pokud se sečte takto vyjádřené záporné číslo s jiným záporným nebo větším kladným číslem, dojde k přetečení rozsahu. Kód je ale zvolen tak, že po odříznutí přetečeného bitu dostáváme správný výsledek.

Příklad: 20 - 13 = 20 + (-13) = 00010100 + 11110011 = 1 00000111 = 7 (po odříznutí přeteklého devátého bitu)

Poznámka: všechny příklady jsou pro jednoduchost provedeny na číslech o rozsahu 8 bitů (1 byte).

[editovat] Inverzní kód

Jako doplněk ke dvěma výše uvedeným metodám existuje ještě jakýsi mezikrok – kladná čísla se vyjadřují normálním způsobem, záporná čísla se vyjadřují binární negací čísla. Například -3 vyjádříme kódem 11111100.

Tento kód má stále dvě reprezentace čísla nula.

[editovat] Kód s posunutou nulou (aditivní kód)

Poslední používanou možností je k číslu připočítat nějakou známou konstantu. Například pro osmibitová čísla, která mohou reprezentovat 256 různých čísel, je možné 00000000 považovat za -128, nulu vyjádříme jako 10000000 a symbol 11111111 je 127.

Nevýhodou tohoto zápisu je, že kladná čísla se liší od bezznaménkové reprezentace čísel. Operace sčítání nepotřebuje úpravy, ale pro operaci násobení je nutné od operandů odečíst známou konstantu.

Tento kód se běžně používá pro reprezentaci exponentu reálných čísel.