Formelsammlung Geometrie

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Dies ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, welche in der Tabelle mathematischer Symbole erläutert werden.

Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

[Bearbeiten] Geometrie in der Ebene

[Bearbeiten] Abbildungen

[Bearbeiten] Winkel

Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln beträgt 180°.
Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind gleich groß.
Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Außenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360° Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180°

[Bearbeiten] Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung

Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in n gleiche Teile) zu teilen, zeichne man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist. Auf diesem trage man n mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt C verbinde man mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile.

[Bearbeiten] Dreieck

Benennung der Seiten und Winkel

Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man $α$ (griechische Kleinbuchstaben)
Die Dreiecksseite (bzw. deren Länge) gegenüber der Ecke A nennt man a

Gleichseitiges Dreieck

Alle Seiten sind gleich lang
Alle Winkel sind gleich groß (60°)
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale

Gleichschenkliges Dreieck

Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel a und b); die dritte Seite heißt Basis c
Die beiden Basiswinkel ( $α$ und $β$ )sind gleich groß
Die Höhenlinie durch C halbiert den Winkel $γ$
Die Höhenlinie durch C halbiert die Basis c

Rechtwinkliges Dreieck

$α$ + $β$ = 90°
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel
Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden
Satz des Pythagoras: (1.Kathete)² + (2.Kathete)² = (Hypotenuse )²

bzw. a² + b² = c²

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) teilen einander im Verhältnis 2:1.
Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.

Schnittpunkt der Mittennormalen

Der Schnittpunkt der Mittennormalen entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises.

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises.
w_$α$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $α$ .

Schnittpunkt der Höhenlinien

Die Höhenlinien schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
Die Höhe h_c ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c.
D ist der Höhenfußpunkt von h_c.

Flächenberechnung mit Grundseite und zugehöriger Höhe

$A=\frac{g \cdot h}{2}$

Flächenberechnung mit zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel

$A=\frac{b\cdot c\cdot \sin(\alpha)}{2}$

(b und c sind die den Winkel $α$ einschließenden Seiten)

Heronsche Formel (Flächenberechnung aus den drei Seitenlängen)

$A ={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

[Bearbeiten] Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse:

$a^2 = p \cdot c, \ b^2 = q \cdot c$

Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.

$h^2 = q \cdot p$

[Bearbeiten] Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

drei Seiten (sss)
zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

[Bearbeiten] Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
zwei Winkel übereinstimmen

[Bearbeiten] Strahlensätze

Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältniss wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte.

[Bearbeiten] Vierecke

[Bearbeiten] Quadrat (Geometrie)

Quadrat Umfang:

$U = 4\cdot a$

Quadrat Fläche:

$A = a\cdot a$

Diagonale im Quadrat:

$d = a\cdot \sqrt{2}$

[Bearbeiten] Rechteck

Rechteck Umfang:

$U = 2\cdot (a + b)$

Rechteck Fläche:

$A = a\cdot b$

[Bearbeiten] Raute (Rhombus)

Raute Umfang:

$U = 4\cdot a$

Raute Fläche:

$A = \frac {1} {2} \cdot e \cdot f$

$A = a^2 \cdot \sin \alpha$

Diagonalen in der Raute:

$e^2 + f^2 = 4\cdot a^2$

[Bearbeiten] Parallelogramm

Parallelogramm Umfang:

$U = 2\cdot (a + c)$

Parallelogramm Fläche:

$A = a\cdot ha \,$

[Bearbeiten] Trapez

Trapez Umfang:

$U = a + b + c + d \,$

Trapez Fläche:

$A = \frac 12 \cdot (a + c) \cdot h$

[Bearbeiten] Regelmäßige Vielecke (n-Ecke)

n = Anzahl der Ecken
r(u) = Radius des Umkreises, d.h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einem Eck
r(i) = Radius des Inkreises, d.h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
U = Umfang des n-Ecks
A = Fläche des n-Ecks

Im Bezug auf r(u):

$U = 2 \cdot n \cdot r_{u} \cdot \sin {180 \over n}$
$A = { n \cdot r_{u}^2 \cdot \sin {360 \over n} \over 2}$

Im Bezug auf r(i):

$U = 2 \cdot n \cdot r_{i} \cdot \tan {180 \over n}$
$A = n \cdot r_{i}^2 \cdot \tan {180 \over n}$

[Bearbeiten] Kreis, Kreisteile

Umfang:

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Kreis Fläche:

$A = \pi \cdot r^2$

[

π

~ 3,1415... (siehe Pi (Kreiszahl)) ]

Länge eines Kreisbogens

$b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot { \alpha \over 360^\circ}$

Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor)

$A = \pi \cdot r^2 \cdot { \alpha \over 360^\circ}$

Fläche eines Kreisabschnittes (Segment)

$A = {{r^2} \over {2}} \cdot \left( {{{\pi} \cdot {\alpha} } \over{180^\circ}} - \sin \alpha \right)$

[Bearbeiten] Ellipse

Gleichung der Ellipse

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a, b Halbachsen der Ellipse)

Flächeninhalt (Inneres der Ellipse)

$A=2\cdot \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^2 b^2 - b^2 x^2}{a^2}}\ dx = \pi a b$

D = großer Durchmesser, d = kleiner Durchmesser

$A=\frac{\pi}{4} D\cdot d$

[Bearbeiten] Geometrie der Körper

[Bearbeiten] Kegel

Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln

$V = {1 \over 3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

Mantel von senkrechten Kegeln

$M = \pi \cdot r \cdot s$

Oberfläche von senkrechten Kegeln

$O = r^2 \cdot \pi + \pi \cdot r \cdot s = r \cdot \pi \cdot (r + s)$

Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe

$s^2 = r^2 + h^2 \,$

[Bearbeiten] Kugel und Kugelteile

Volumen einer Kugel

$V = {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3 = {1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^3$

Oberfläche einer Kugel

$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2$

Umfang einer Kugel

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)

h läuft entlang dem Durchmesser.

$A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Kugelsegment (Kugelabschnitt)

$O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + \rho^2 \pi$ mit : $\rho^2 = h \cdot (2r -h)$

$V = {h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h)$

Kugelzone

$A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Kugelschicht

$O = \pi \cdot (2\cdot r \cdot h + a^2 + b^2)$

mit : $2 \cdot a$ = Durchmesser des unteren Schnittkreises und $2 \cdot b$ = Durchmesser des oberen Schnittkreises

$V = \pi \cdot h (3 \cdot a^2 + 3 \cdot b^2 + h^2)/6$

[Bearbeiten] Ellipsoid und Drehkörper

[Bearbeiten] Ellipsoid

Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a,b,c:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\,$

Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a,b; Rotationsachse a:

$V = \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b^2\,$

[Bearbeiten] Pyramide

Pyramide mit der Grundrisslänge $a$ und der Höhe $h$

Oberfläche: Die Oberfläche O setzt sich zusammen aus dem Quadrat als Grundfläche und den vier Seitenflächen:

$O = a^2 + a\sqrt {4h^2 + a^2 }$

Volumen: Legt man um die Pyramide ein quadratischer Quader mit der Grundrisslänge $a$ und der Höhe $h$ und verschiebt die Spitze der Pyramide in eine Quaderecke, so entsteht eine schiefe Pyramide mit gleichem Volumen. Dann gibt es noch zwei weitere Pyramiden gleichen Volumens. Die drei Pyramiden füllen den Quader aus. Das Volumen einer Pyramide ist gleich:

$V = \frac{{a \cdot h}}{3}$

[Bearbeiten] Säulen

Rundsäule (Zylinder)

- Das Volumen einer Rundsäule setzt sich zusammen aus der Multiplikation der Grundfläche g (Flächeninhalt eines Kreises: π*r²) mit der höhe h: g*h

Dreieck-Säule (Prisma)

- Das Volumen einer Dreieck-Säule setzt sich zusammen aus der Multiplikation der Grundfläche g (Flächeninhalt eines Dreiecks: (g*h)/2) mit der höhe h: g*h

Vierecksäule (Quader / Würfel)

- Das Volumen einer Vierecksäule setzt sich zusammen aus der Multiplikation der Grundfläche g (Flächeninhalt eines Vierecks: a*b) mit der höhe h: g*h

oder: Das Volumen ergibt sich aus der Multiplikation der Kanten (Höhe x Tiefe x Länge): a*b*c

[Bearbeiten] Trigonometrie

[Bearbeiten] Trigonometrische Funktionen

[Bearbeiten] Definitionen

Sinus

$\sin \alpha = \frac{\rm Gegenkathete}{\rm Hypotenuse} = \frac{a}{c}$

Kosinus

$\cos \alpha = \frac{\rm Ankathete}{\rm Hypotenuse} = \frac{b}{c}$

Tangens

$\tan \alpha = \frac{\rm Gegenkathete}{\rm Ankathete} = \frac{a}{b}$

[Bearbeiten] Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \,$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha} {\cos\alpha}$

$\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$

[Bearbeiten] Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

[Bearbeiten] Vorzeichen für Winkel zwischen 0° und 360°

[Bearbeiten] Sinussatz

${{\sin \alpha} \over a} = {{\sin \beta} \over b} = {{\sin \gamma} \over c}$

[Bearbeiten] Kosinussatz

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$

[Bearbeiten] Grad und Radiant

Gradmaß/Grad: 360° entsprechen einem Vollwinkel
Neugrad: 400^g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
Bogenmaß/Radiant: 2 $π$ entsprechen einem Vollwinkel

Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

$b = {{2 \cdot \pi \cdot \alpha} \over 360^\circ }$

[Bearbeiten] Näherungen für sin x, cos x und tan x

Für kleine Winkel x gilt (Kleinwinkelnäherung):

$\sin (x) \approx x{}$

(der Näherungwert ist im Bogenmaß) denn für die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 gilt:

$\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!}{}$

analog gilt

$\cos (x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\,$

$\tan (x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{2n}(2^{2n}-1)\left|B_{n}\right| \frac{x^{2n - 1}}{(2n)!}\,$

mit Wertebereich $\left|x\right|<\frac{\pi}{2}$ .

B n

sind die Bernoulli-Zahlen:

$B_{1}=\frac{1}{6}, B_{2}=\frac{1}{30}, B_{3}=\frac{1}{42}, B_{4}=\frac{1}{30}, B_{5}=\frac{5}{66},\dots$

[Bearbeiten] Arcusfunktionen

Ist die Umkehr der Winkelfunktionen (sin, cos, tan) und liefern den Winkel zurück

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