Lie-Gruppe

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Lie-Gruppe

berührt die Spezialgebiete

partielle Differentialgleichung

Physik

Symmetrie

Eichtheorie

Lorentz-Gruppe, Poincaré-Gruppe

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

GL(n,K)

Eine Lie-Gruppe, benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die insbesondere in der Analysis, Geometrie und Physik zur Beschreibung von Symmetrien verwendet wird.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt; unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nicht-euklidischer Geometrien.

[Bearbeiten] Definitionen

Eine Lie-Gruppe ist eine glatte reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind. Die Dimension der Lie-Gruppe ist die Dimension der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Ist diese endlich, so ist die unterliegende Mannigfaltigkeit automatisch analytisch und die Gruppenmultiplikation und Inversion sind analytische Funktionen.

Die Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ bilden mit der Lie-Klammer eine (unendlich-dimensionale) Lie-Algebra. Die zu einer Lie-Gruppe $G$ gehörende Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ besteht aus dem Unterraum der links-invarianten Vektorfelder auf $G$ . Ganz leicht sieht man ein, dass $\mathfrak{g}$ unter der Lie-Klammer abgeschlossen ist und dass $\mathfrak{g}$ isomorph zum Tangentialraum $T e G$ am neutralen Element $e$ von $G$ ist. Insbesondere gilt also $\dim G = \dim\mathfrak{g}$ .

Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen $H, G$ ist ein Gruppen-Homomorphismus $f:\, H \to G$ , der zugleich eine glatte Abbildung ist. Man kann einfach zeigen, dass es dafür genügt, dass $f$ stetig ist. Falls $H$ und $G$ endlichdimensional sind, ist $f$ dann sogar analytisch.

Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. Isomorphe Lie-Gruppen werden für alle praktischen Zwecke als gleich betrachtet.

Das Differential eines Homomorphismus $f:\,H \to G$ definiert einen Homomorphismus $f_*:\,\mathfrak{h}\to\mathfrak{g}$ der zugehörigen Lie-Algebren $\mathfrak{g},\mathfrak{h}$ . Ein Isomorphismus zwischen Lie-Gruppen induziert einen Isomorphismus zwischen den entsprechenden Lie-Algebren.

Die Lie-Gruppen werden eingeteilt in die A_n-Serie, B_n-Serie, C_n-Serie, D_n-Serie, sowie die fünf "Ausnahmegruppen" G₂, F₄, E₆, E₇ und E₈.

Die B_n sind Drehungen im geradzahligen reellen Raum, die D_n sind Drehungen im ungeradzahligen reellen Raum. Man bezeichnet sie auch als "Spingruppen". Die A_n sind unitäre Transformationen im n-dimensionalen Raum der komplexen Zahlen. Sie werden "spezielle unitäre Gruppe" genannt. Die C_n schließlich sind Transformationen im n-dimensionalen Raum der Quaternionen, auch bekannt als "symplektische Gruppe". G₂ ist die automorphe Gruppe der Oktonionen. F₄ ist die automorphe Gruppe der aus Oktonionen bestehenden 3x3-Matrizen. E₆ kann als Erweiterung von F₄ auf komplexe Zahlen angesehen werden, E₇ als Erweiterung auf Quaternionen und E₈ als Erweiterung auf Oktonionen. Das sind alle Lie-Gruppen, die es gibt.

Die Indexzahlen n in den Bezeichnungen "A_n", "B_n", "C_n", "D_n", "G₂", "F₄", "E₆", "E₇" und "E₈" geben den Rang der Lie-Gruppe an. Dieser Rang ist gleich der Dimension des maximalen Torus', den es in der betreffenden Gruppe geben kann.

[Bearbeiten] Erste Beispiele

Allgemeine lineare Gruppe
Orthogonale Gruppe
Unitäre Gruppe
Spezielle unitäre Gruppe
Spezielle orthogonale Gruppe
Spezielle lineare Gruppe
Poincaré-Gruppe
Galilei-Gruppe
Der Euklidische Raum Rⁿ mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe.
Interessantere und typischere Beispiel sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren Untergruppen, zum Beispiel die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum.

[Bearbeiten] Klassifikationsmöglichkeiten

Man kann Lie-Gruppen nach ihren Gruppen-Eigenschaften klassifizieren: einfach, halbeinfach, auflösbar, nilpotent, abelsch (siehe auch Gruppentheorie-Glossar).

Jede Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe. Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine topologische Struktur und kann nach topologischen Attributen klassifiziert werden: zusammenhängend, einfach-zusammenhängend, kompakt.