برخال
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.
بَرخال (فرکتال، فراکتال، fractal)، ساختاری است که هر جزء از از آن با کلش متشابه است.
[ویرایش] الگوهای رویش برخالی
ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس ، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخشهای متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون بعنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با‌این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال 1960 بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خود-متشابه‌ای طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبروت جهت مشخص کردن شئی که بعد ((هاوسدورف بیسکویچ)) آن بزرگتر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را‌ایجاد کرد. او‌این تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد. 
بر خالها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می شوند. از طرف دیگر برخالها یا خود متشابه اند (self similarity) یا خود الحاق (self affinity) هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز کپی دقیقی از شکل کل است و در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می کند اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی کند. مثلا حوضه هاي آبريز و رودخانه ها نمونه اي از خود متشايه اي و خود الحاقي اند.رگون وهمكاران (1996) تعريف دقيقي از حالت خود متشابه اي و خود الحاقي در حوضه هاي آبريز ارائه دادند. مشخصات مسطحاتي از حوضه هاي رودخانه اي ممكن است به وسيله رابطه زير مشخص شوند:
در اينجا 
اندازه هاي مناسب با مقياسهاي طولي وعرضي هستند كه در شكل 2 نشان داده شده است. S وابسته به شكل است. اشكالي خودمتشابه ناميده مي شوند اگر نسبت 
براي تمام مساحت ها ثابت ، همچنين پارامتر شكل حوضه ها (S) ثابت باشد.متعاقبا اگر نسبت با افزايش مساحت (A) ؛ كاهش پيدا كند و S همچنان ثابت باشد حوضه ها حالت خود الحاقي پيدا كرده و به همراه مساحت كشيده تر مي شوند( شكل دفرمه مي شود):
پس ثابت بودن 
به خود متشابه اي حوضه دلالت دارد در حاليكه با افزايش مساحت (A)، كاهش يابد به خود الحاقي حوضه دلالت دارد.
در رودخانه‌هاي شاخه شاخه اي وحوضه‌های آبریز، بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = 0. 72-0. 74 و Vy = 0. 51-0. 52 اين ابعاد با مطالعه بر روي سه رودخانه بزرگ شاخه شاخه اي ، آيچيليك و هولاهولا در آلاسكا و برهماپوترا در بنگلادش بدست آمده است((ساپوژنیکوف و فوفولو ،1996). ساپوژنيكوف و نيكورا(1993) مشخص کرده اند که رودخانه منحصر به فرد طبيعي و شبيه سازي شده ، هندسه پيچيده اي را نشان مي دهند . خود-متشابه اي در مقياس کوچک وخود-الحاقي در مقياس بزرگ . رفتار خود-الحاقي رودخانه ها به خاطر نيروي جاذبه اي است که رودخانه ها را در جهت شيب رودخانه اصلي در جهات مختلف مقياس گذاري مي کند. لذا شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد ( isotropy) می‌گویند. به خود الحاقی ناهمسانگرد( anisotropy) می‌گویند.
گسترش رو به رشد رویکرد مونوفراکتالی (تک برخالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه فراکتالی، بجای بعد منفرد فراکتالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چند برخالی (multifractal spectrum) نامیده می شود و روش توصیف تغییر پذیری بر اساس طیف سنجی چند برخالی به آنالیز چند برخالی (multifractal analysis) معروف است (فریش و پاریسی، 1985). روش چند برخالی به اندازه خود متشابه‌ای آماری (statistical self-similar) دلالت دارد که می تواند به صورت ترکیبی از مجموعه های متقاطع برخالی (interwoven fractal sets) مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی را‌ایجاد می کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیرمورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چند برخالی می توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. (Cox and Wang, 1993)
