Fractal
De Viquipèdia
Una fractal és un objecte matemàtic de gran complexitat definit per algorismes simples.
Les fractals van ser estudiades llargament per Benoit Mandelbrot i el terme fractal va ser pràcticament implantat per ell gràcies al seu llibre Els objectes fractals.
Les fractals neixen de l'intent de trobar una geometria més apropiada per descriure els objectes de la natura. En aquesta recerca, Mandelbrot es va trobar una serie d'objectes matemàtics: conjunt de Cantor, triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, etc... que havien estat considerats curiositats dins les matemàtiques, però que no havien tingut major interès fins el moment que Mandelbrot s'adonà de què tots tenien aspectes en comú.
La paraula fractal neix a partir d'una adaptació del terme fraccionari. Les fractals tenen com a primera i principal característica l'aparició de dimensions fraccionaries. Això vol dir que si una línia té dimensió 1, un pla té dimensió 2, i un volum té dimensió 3, a les fractals apareixen dimensions que es poden escriure en forma de fracció. Una dimensió 7/4, per exemple, correspon a un cos que es troba a cavall entre una línia i un pla.
La possibilitat de tenir dimensions fraccionaries es pot veure per exemple amb el conjunt de Cantor. El conjunt de Cantor es crea de la següent forma. S'agafa un segment. Es divideix en 3 parts i s'elimina el segment del mig. Es fa el mateix amb els segments que queden i es repeteix el procés indefinidament. El conjunt resultant és una mena de pols de punts. La seva dimensió és major de 0, perquè té varis punts. També és menor de 1, perquè els punts no arriben a formar un línia. És per tant una dimensió entre 0 i 1.
Totes les fractals tenen les següents característiques:
- Tenen dimensió fraccionaria.
- Estan detallades en escales infinitament petites, i a vegades infinitament grans.
- Tenen autosemblança estadística. Això vol dir que les diferents escales de detall tenen formes similars. També es pot dir que troços petits de qualsevol fractal són semblants a la fractal sencera.
Les fractals són models per descriure la natura, però no deixen de ser models matemàtics. Els objectes de la natura que es poden descriure amb fractals, s'anomenen fractals naturals, tot i què no són estrictament fractals. Per exemple, fractals naturals, com núvols, muntanyes, i vasos sanguinis, tenen límits inferiors i superiors en detall; no existeix un terme precís per a "massa irregular"; existeixen diferents maneres per a definir "dimensió" amb valors racionals; i no tota fractal és definida recursivament.
Les fractals poden ser dividides en tres àmplies categories:
1. Sistema iterat de funcions Aquestes tenen una regla de punt fix geomètric. Exemples: conjunt de Cantor, triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, corba del drac.
2. Les fractals definides per una relació de recurrència en cada punt d'un espai (com el pla complex). Un exemple n'és el conjunt de Mandelbrot o el conjunt de Julia.
3. Fractals aleatòries, generades per processos estocàstics. Per exemple: Paisatges de fractal. Les fractals estocàstiques estan relacionades amb la teoria del caos.
Les fractals aleatòries tenen una gran aplicació pràctica, ja que són les més apropiades per descriure diversos objectes irregulars del món real. Exemples en són els núvols, muntanyes, turbulència, costes i arbres.
Tècniques de fractals han estat utilitzades en la compressió d'imatges, així com en una varietat de disciplines científiques.
[edita] Enllaços externs
- Borlandia Applets en java que generen Fractals interactius
