Fractal

Van Wikipedia

$Mandelbrotfractal$

Mandelbrotfractal

$Mandelbrotfractal, 75 keer vergroot$

Mandelbrotfractal, 75 keer vergroot

De Buddhabrot is een speciale versie van de Mandelbrotverzameling, welke na 90 graden rotatie een zekere gelijkenis vertoont met Boeddha

Julia set

Een fractal is een meetkundig figuur dat op elke schaal onregelmatig is. Fractals hebben een oneindige hoeveelheid details, en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Doorgaans kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal werd gemunt in 1975 door Benoît Mandelbrot, afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken).

Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e en begin 20e eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Poincaré en Gaston Julia. De fractalmeetkunde is de tak van wiskunde die zich bezig houdt met de eigenschappen van fractals. Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde, met toepassingen in wetenschap, technologie en computerkunst.

De bekendste fractals zijn de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling.

[bewerk] Dimensies meten

Een fractal kan worden gekarakteriseerd door zijn dimensie: in tegenstelling tot niet-fractale objecten is de dimensie van een fractaal object geen geheel getal. De dimensie van een punt is 0, en van een lijn 1. Een fractal bestaande uit een oneindige verzameling punten langs een lijn heeft een dimensie tussen 0 en 1 in, bijvoorbeeld 0,5

De dimensionaliteit van sommige figuren is zo voor de hand liggend dat het niet nodig lijkt een methode bij de hand te hebben om de dimensie te bepalen. Zo is een rechte lijn 'duidelijk' eendimensionaal 1D en een plat vlak 2D. We zouden dat -zo er enige twijfel was- als volgt kunnen bepalen.

Kies een punt op de rechte en construeer een bol met straal R. We kunnen het lijnstuk binnen de bol beschouwen als een verzameling punten. Tel de punten op het lijnstuk binnen de bol. (Een oneindig aantal). Vergroot nu de bol met een schaal factor S, zodat de straal nu SR is. Tel opnieuw het aantal punten. Dit aantal is opnieuw oneindig maar aftelbaar S keer zo groot. Immers voor ieder punt binnen de oude bol zijn er S punten binnen de nieuwe. Als we hetzelfde spelletje spelen met een punten in een plat vlak neemt het aantal punten toe met een factor S². In het algemeen kunnen we stellen dat deze factor S^d is waar d de dimensionaliteit van de verzameling is.

Voor lijnen en vlakken lijkt dit een wat flauw spelletje, maar niet als de verzameling punten op bijvoorbeeld een wolk of een kustlijn lijkt. In dat geval is het mogelijk verzamelingen te definiëren waarbij het aantal punten toeneemt met een factor S^2,324 of S^1,324. Dit soort figuren waarvoor de dimensionaliteit d niet een geheel getal is heten fractals

[bewerk] Toepassingen

De fractale wiskunde heeft in de jaren 1980 - 1990 een te grote populariteit onder wetenschappers gekend. Men meende overal en in alles fractalen te onderkennen en de wiskunde werd te pas en te onpas toegepast; zo zeer zelfs dat anno 2004 fractalen een beetje in discrediet zijn in de wetenschap. Dit is des te merkwaardiger omdat een fractal net als een bol of een driehoek een wiskundig begrip is dat noch waar noch onwaar is, maar gewoon bij definitie geschapen.

Toch zijn er diverse toepassingen van fractalen die niet meer weg te denken zijn. De beschrijving van chaos bijvoorbeeld is ondenkbaar zonder de achtergrond van fractals. Ook de karakterisatie van op het oog heel rommelige structuren, bijvoorbeeld deeltjes met een bijzonder ruw oppervlak of het karakteriseren van de bladvorm van varens of de takstructuur van bomen maakt dankbaar gebruik van fractale wiskunde. Met behulp van strooiing bij kleine hoeken zowel van Röntgen- als van neutronenstraling (SAXS of SANS) kunnen fractale dimensies van bijvoorbeeld colloïdaal gesuspendeerde kleine deeltjes direct gemeten worden.

[bewerk] Programma's

Er zijn vele programma's die plaatjes via fractalberekeningen kunnen maken. Door een kleur toe te kennen aan de waarde ontstaan zo plaatjes. Door binnen zo'n programma een klein deel uit te vergroten, is te zien dat een fractal steeds verder doorgerekend kan worden (afhankelijk van de beperkingen van het programma).

Enkele programma's die plaatjes kunnen genereren: