תורת היחסות הפרטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

תורת היחסות הפרטית, היא תאוריה פיזיקלית, שהייתה מהפכנית בזמנה, שפורסמה על-ידי אלברט איינשטיין בשנת 1905. התאוריה באה לענות על קשיים בהבנת התנהגות האור. תאוריה זו היא התאוריה הראשונה תחת הכותרת תורת היחסות. אחריה פרסם איינשטיין בשנת 1915 את תורת היחסות הכללית.

תוצאות ניסוי מיכלסון-מורלי, אשר בו נמדדה מהירות האור בכיוונים שונים לעומת התנועה היחסית של כדור הארץ, היו בלתי מובנות על בסיס ההנחה שגם ביחס למהירות האור, כמו ביחס לכל מהירות אחרת, מתקיים הכלל של חיבור מהירויות. לפי כלל זה, אם מכונית נוסעת ב־50% ממהירות האור אז לכאורה האור מפנסי המכונית צריך לצאת במהירות של פי אחד וחצי ממהירות האור, אבל לא זה המצב. בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעה זו עומדת ההנחה שמהירות האור קבועה לכל צופה ולא משנה מה המהירות היחסית שלו, כלומר כולם רואים אותה מהירות קבועה שמסומנת באות c (מהירות האור בריק היא 300 אלף קילומטרים בשנייה בקירוב).

כתוצאה מהנחה יחידה זו נובעים דברים חדשים ומסעירים:

יחסיות הבו זמניות: צופה א' רואה שני ארועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים.
התארכות הזמן: אם מישהו נע יחסית אל הצופה במחצית מהירות האור אזי כאשר הצופה מסתכל על מחוגי השניות של אותו מישהו שנע לקראתו, הצופה יראה תזוזה של שנייה כל 1.15 שניות בשעון שלו. מי שנע לא חש בתופעה זו.
התקצרות האורך: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור, אזי כאשר הצופה מסתכל על אורכה הוא מתקצר ב־13% לעומת האורך במנוחה, אבל מי שבחללית לא יראה שום שוני.
עליית המסה: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור המסה שלה תהיה ב־15% יותר מאשר המסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא ימדוד שום שינוי.

דבר נוסף שחידשה התורה הוא שקילות המסה והאנרגיה - לכל גוף יש אנרגיה אשר אינה קינטית או פוטנציאלית והיא יחסית למסה שלו, על-פי הנוסחה המפורסמת E=mc². מכאן שכל גוף יכול להיות מומר באנרגיה שוות ערך למסתו - מה שמהווה היסוד התיאורטי לפיתוח פצצת אטום בפרט ואנרגיה גרעינית בכלל. ניצול מלא של שקילות זו מתרחש כאשר חומר ואנטי-חומר מתנגשים, אז הם מתאיינים - הופכים לאנרגיה ללא שארית ממהותם המקורית.

תוכן עניינים

1 הרקע לתורת היחסות
- 1.1 קרינה אלקטרומגנטית ומדידת מהירות האור
- 1.2 א-סימטריה בתורת האלקטרומגנטיות
2 עקרונות תורת היחסות
3 ניסוח מתמטי של תורת היחסות באמצעות מרחב-זמן של מינקובסקי
4 יישומים ומסקנות של תורת היחסות
5 ראו גם
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] הרקע לתורת היחסות

בסוף המאה ה-19 שלטו בפיזיקה שלוש תורות מרכזיות: מכניקה, אלקטרודינמיקה ותרמודינמיקה. כל תורה כשלעצמה סיפקה תחזיות שהתאמתו בניסויים, אך שלוש התורות כמכלול סתרו אחת את השנייה וגרמו לכך שתמונת העולם שהציגה הפיזיקה בזמנו הייתה לא עקבית.

[עריכה] קרינה אלקטרומגנטית ומדידת מהירות האור

התגלית הגדולה של סוף המאה ה־19 הייתה הקרינה האלקטרומגנטית שהתקבלה כפתרון למשוואת הגלים המתקבלת ממשוואות מקסוול. פתרון משוואות מקסוול קובע שקרינה אלקטרומגנטית מתפשטת במרחב במהירות האור, ולכן הסיקו הפיזיקאים שהאור הוא סוג של קרינה אלקטרומגנטית. על פי המכניקה הקלאסית, כל גל מתקדם בתווך מסוים ומהירות ההתקדמות שלו (שנקבעת עפ"י משוואת הגלים) נמדדת ביחס לתווך. אולם, נראה שהאור מתקדם בריק. לשם כך - המציאו הפיזיקאים של אותה תקופה את ה"אתר" - שהיה, לפי התאוריה, התווך שבו נע גל האור.

כדי לאמת את התחזית בדבר גלים אלקטרומגנטיים ומהירות התקדמותם, החלו הפיזיקאים לתכנן ניסויים שימדדו את מהירות האור ביחס לאתר. הניסויים התבססו על ההנחה השאולה מהמכניקה הקלאסית - מאחר שבתקופות שונות של השנה כדור הארץ נע ביחס לאתר, מהירות האור שתימדד בניצב לכיוון התקדמות כדור הארץ ומהירות האור שתימדד במקביל לה יהיו שונות. באמצעות ידיעת תנועתו של כדור הארץ יהיה אפשר לחשב את מהירות האור ביחס לאתר.

את הניסוי המפורסם ביותר בתחום זה ביצעו הפיזיקאי אלברט אברהם מיכלסון ועמיתו אדוארד מורלי בשנת 1887. כדי למדוד את מהירות האור הם השתמשו בשיטה אופטית-התאבכותית הידועה בשם "אינטרפרומטריה". תוצאות הניסוי שמיכלסון ומורלי קיבלו, קבעו שמהירות האור שנמדדה הייתה זהה בשתי המדידות, למרות שרק באחת מהן הייתה תזוזה של מערכת המדידה ביחס לאתר. תוצאות הניסוי של מיכלסון ומורלי היו בלתי מובנות על בסיס ההנחה שגם ביחס למהירות האור, כמו ביחס לכל מהירות אחרת, מתקיים הכלל של חיבור מהירויות. איינשטיין התוודע לניסוי זה ולתוצאותיו בהיותו סטודנט לתואר ראשון לפיזיקה ותוצאות הניסוי איתגרו אותו.

[עריכה] א-סימטריה בתורת האלקטרומגנטיות

במאמר שפרסם על יחסות פרטית, שנקרא "אלקטרודינמיקה של גופים נעים", כתב איינשטיין שמה שדחף אותו לפתח את התורה היה חוסר הסימטריה שביסוד תופעת אלקטרומגנטיות בסיסית. מדובר בתופעה שבה תנועה יחסית בין מוליך לשדה מגנטי יוצרת זרם חשמלי במוליך. לתופעה זו הציעה האלקטרומגנטיות הקלאסית שני הסברים שונים לחלוטין:

אם המוליך זז ביחס לשדה, הרי שהמטענים נעים במהירות v ולכן פועל עליהם כוח לורנץ וגורם להם לנוע בתוך המוליך, ולכן נוצר זרם.
אם השדה המגנטי משתנה ביחס למוליך, אזי השטף המגנטי שדוגם המולך משתנה, ולפי חוק פאראדיי נוצר כוח אלקטרו-מניע במוליך שגורם למטענים לנוע כזרם.

איינשטיין לא היה מוכן להשלים עם האסימטריה הזאת עם שני הסברים שונים לחלוטין לתופעה אחת.

ניסיונו למצוא הסבר אסתטי וסימטרי לתופעה היה אחד ממניעיו לפיתוח תורת היחסות. איינשטיין הבין ששורש הבעיה מצוי בכך שמושגים כמו מרחב וזמן לא הוגדרו היטב, ולא הוקדשה תשומת לב מספקת להבנת המשמעות האמיתית של משפטים כגון "הרכבת הגיעה בשבע".

[עריכה] עקרונות תורת היחסות

בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעות שנידונו לעיל עומדים שני פוסטולטים (עקרונות יסוד) שעליהם הכריז איינשטיין.

עקרון היחסות:

חוקי הפיזיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. במילים אחרות: אם תימצא בקרון רכבת אטום ומנותק לחלוטין מהעולם החיצון, לא יהיה שום ניסוי או מדידה פיזיקלית שתגיד לך האם הקרון נע במהירות קבועה בקו ישר או ניצב במנוחה.
אינווריאנטיות מהירות האור:

מהירות האור קבועה לכל צופה ולא משנה מה המהירות היחסית שלו ביחס לאור ולא משנה כיוון התנועה שלו ביחס לאור ולא משנה גם מהירות המקור המשגר את האור. כלומר: כולם רואים אותה מהירות קבועה שמסומנת באות c (מהירות האור בריק היא 300 אלף קילומטרים בשנייה בקירוב).

באמצעות דרישות אלה הסביר איינשטיין כיצד להגדיר את המרחב והזמן, ובאמצעות סנכרון שעונים הגדיר מחדש את המושג של סימולטניות ("בו-זמניות"). מהניתוח שביצע איינשטיין עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות. כלומר: צופה נייח לא יסכים עם צופה נייד ששני אירועים שכל אחד מדד במערכת שלו התרחשו בו זמנית. מדרישות אלה ומעקרון הלוקליות גזר איינשטיין את טרנספורמציות לורנץ שהחליפו את טרנספורמציית גליליי ככלי הנכון לתרגם גדלים פיזיקליים במעבר בין מערכות ייחוס שונות.

חשוב לציין שתורת היחסות הפרטית מטפלת רק במערכות ייחוס אינרציאליות - כלומר: מערכות ייחוס הנעות במהירות קבועה אחת ביחס לשנייה. למרות שאפשר לדבר בתורה על תאוצה כגודל קינמטי, הטרנספורמציות בין מערכות ייחוס נעשות רק בין שתי מערכות אינרציאליות זו לזו. שילוב מערכות ייחוס מואצות (כגון למשל מערכת ייחוס מסתובבת) איננו דבר פשוט ובעיה קשה זו מצאה פתרון שלם רק ב 1915 - כאשר איינשטיין ניסח את תורת היחסות הכללית, שמהווה הכללה לתורת היחסות הפרטית ומטפלת גם במערכות מואצות כאשר היא מזהה תאוצה עם שדה כבידה.

[עריכה] הזמן על פי תורת היחסות

[עריכה] מהו זמן ואיך מודדים אותו

בשלב הראשון, ניגש איינשטיין לטפל בזמן וניתח מה הוא בדיוק ה"זמן" שאנו מודדים. ראשית, איינשטיין פתר את המקרה הפשוט שבו מודד הזמן נמצא באותו מקום בו קרה האירוע.

"הרכבת הגיעה בשעה שבע" - כלומר, האירוע שבו הרכבת הגיעה לתחנה התרחש בו-זמנית במערכת הייחוס של התחנה יחד עם האירוע שבו השעון של המודד , הנמצא נייח בתחנה, הראה את השעה 7.

בשלב השני בחן איינשטיין מה קורה אם האירועים אינם קורים באותו מקום? במקרה זה, יש להכין את מערכת המדידה מראש.

נניח שבדוגמה שלנו, מודד הזמן נמצא מחוץ לתחנה וכן נניח שיש ברשותו אמצעי להעברת מידע במהירות האור בין התחנה אליו. כדי למדוד מתי הגיעה הרכבת עליו להכין שני שעונים (אחד בתחנה ואחד אצלו) וכן למדוד את המרחק בין התחנה אליו (נניח שמרחק זה הוא L). כעת, כאשר הרכבת מגיעה לתחנה, השעון שבתחנה שולח אות במהירות האור אל המודד. אם השעון בתחנה יראה 7 בעת הגעת הרכבת, השעון של המודד יראה $\ 7^{\underline{00}} + \frac{L}{c}$ . כדי לדעת מתי הגיעה הרכבת עליו לקזז משעונו את הזמן שלקח למידע להגיע. כך פתר איינשטיין את בעיית הזמן גם עבור אירועים שאינם קורים באותו מקום.

מהניתוח לעיל, עולה שכדי לקבל מדידה אחידה עבור צופים במרחקים שונים , בכל מקום יש לסנכרן את השעונים כך שהמחוג יקזז את הזמן שלוקח למידע להגיע (בדוגמה שלנו: המודד צריך לכוון את השעון שלו $\frac{L}{c}$ זמן אחורה כדי שגם השעון שלו יראה שהרכבת הגיעה ב־7 לתחנה, כמו שהשעון בתחנה מראה). באופן תיאורטי אידאלי, בכל מקום במרחב יש שעון מסונכרן כזה.

אולם, מסתבר שבעיית סנכרון השעונים איננה פשוטה כל כך. בשביל לסנכרן שני שעונים יש לשלוח קרן אור משעון A לשעון B, לתת לקרן לחזור ולמדוד את משך הזמן שלקח לה לחזור, באופן מתמטי - אם קרן האור יצאה ב־ $t a$ וחזרה בזמן $t b$ אזי

$\ t_b - t_a = \frac{2 L}{c}$

כעת, זה מפתה לומר שהזמן שלוקח לאור לטייל מ־A ל־B הוא $\frac{t_b - t_a}{2}$ (מטעמי סימטריה) אבל אין שום ערובה ניסיונית לכך שזה אכן המצב. למעשה, נוכל לקבוע שבכיוון אחד לקח לאור להגיע רק $\frac{t_b - t_a}{3}$ זמן לעבור, ולא נוכל להפריך זאת בניסוי כי הזמן במקומות שונים מוגדר באמצעות הגודל שאותו אנו רוצים למדוד, ואי אפשר למדדו בלי הגדרה טובה של הזמן במקומות שונים. דבר זה קשה להבנה וקשור לתפיסה האקטואליסטית הקאנטיאנית שהיוותה השראה לאיינשטיין בעת ניסוח התאוריה. ברם, בגלל עיקרון היחסות, בחר איינשטיין באפשרות הטבעית, $\Delta t = \frac{L}{c} = \frac{t_b - t_a}{2}$ , אך במאמרו הדגיש שבחירה זו היא "בחירה שרירותית" ומהווה בעצם "עניין של הגדרה".

בתגובה לניתוח העמוק והמסובך לעיל העיר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן בבדיחותא ש"איינשטיין בעצם גילה שאת הזמן מודדים עם שעון".

אחרי שהגדרנו את מושג הזמן בכל מקום במרחב באמצעות רשת אינסופית של מוטות קשיחים (למדידת מרחקים) שבכל מקום במרחב מונח שעון וכל השעונים מסונכרנים, הגיע הזמן לבחון כיצד תלוי קצב תקתוקו של השעון במהירות התנועה של מערכת הייחוס בה הוא נמצא.

[עריכה] שעון במערכת הנעה במהירות קבועה והתארכות הזמן

על פי תורת היחסות, זמן אינו גודל מוחלט, אלא תלוי במערכת יחוס. כלומר, הזמן אצלי יעבור במהירות שונה מהזמן אצל מישהו שנע ביחס אלי. היחס בין הזמנים הוא אסימפטוטי למהירות האור (כלומר, ככל שמתקרבים למהירות האור, היחס שואף לאינסוף), ועל כן, עבור גוף הנע במהירות האור ביחס אליך, הזמן העובר הוא פשוט אפס (כלומר, לא עובר זמן).

נניח ש $\ \Delta \tau$ הוא פרק הזמן בין שני תקתוקי שעון במערכת בה שני תקתוקי השעון קורים באותו מקום - "המערכת הנייחת" (מתוארת באיור הימני). נניח ש $\ \Delta T_r$ הוא פרק הזמן העובר בין שני תקתוקים כאשר שני התקתוקים קרו במקומות שונים עקב תנועת מערכת הייחוס במהירות קבועה v ביחס למערכת הנייחת, בניצב לכיוון התקדמות האור (מתוארת באיור השמאלי).

איור הממחיש את התארכות הזמן. המערכת באיור הימני נקראת "המערכת הנייחת" ולזמן הנמדד בה קוראים "הזמן העצמי". המערכת באיור השמאלי נעה במהירות קבועה v בניצב לכיוון התקדמות קרן האור.

לפי תורת היחסות, הקשר שיתקיים ביניהם הוא:

$\Delta T_r = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$

או

$\Delta \tau = \frac{\Delta T_r}{\gamma}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$

כאשר $\ \tau$ הוא הזמן העצמי (הזמן במערכת יחוס בה שני האירועים מתרחשים באותו מקום, "המערכת הנייחת") ו־Tr הוא הזמן במערכת יחוס הנעה במהירות V ביחס אליה, כאשר C היא מהירות האור. הזמן העצמי הוא גודל אינווריאנטי בתורת היחסות. ניתן לראות כי כאשר $\ v \to c$ , אזי $\ \Delta T_r$ שואף לאינסוף. תופעה זו ידועה בשם "התארכות הזמן" או Time dilation.

כלומר, ככל שאתה נע במהירות גבוהה יותר כך השעון שלך מתקתק לאט יותר, ובמהירויות השואפת ל c לשעון שלך ייקח זמן אינסופי להשלים תקתוק שני ולכן ידמה לך שהזמן עומד מלכת.

יש להעיר שבשעון הכוונה היא לכל מערכת פיזיקלית המשתנה בזמן (אם המערכת היא בעלת התנהגות מחזורית היא יכולה לשמש כשעון לכל צורך מעשי). גם הלב האנושי הפועם בקצב קבוע הוא סוג של שעון, ומאחר שגם פעילותו הגופנית והמנטלית של הצופה הנע ביחד עם המערכת מאטות ביחד עם השעון, הוא לא ירגיש בהאטת הזמן.

תוצאה מעניינת מהמסקנות לעיל היא פרדוקס התאומים שבו תאום אחד נשלח לחלל במהירות גבוהה מאוד וכאשר הוא חוזר לכדור הארץ הוא מגלה שאחיו הזדקן מאוד, בעוד הוא עדיין נותר צעיר. הסיבה לאי-הסימטריה בין שני התאומים נעוצה בכך שאחד מהם שינה בפועל את מהירותו (כאשר הוא הסתובב לחזור בחזרה אל עבר כדור הארץ) ובכך ביצע "קפיצה" בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות ביחס לתאום שבכדור הארץ.

[עריכה] תורת האינווריאנטים

בניגוד לדעה הרווחת, תורת היחסות לא קובעת שהכל יחסי אלא מנסה למצוא אינווריאנטים של הטבע, כלומר: גדלים שלא משתנים תחת מעבר בין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. איינשטיין יצא מהדרישה שחוקי הפיזיקה הם אינווריאנטים כאלה. גדלים פיזיקליים שנשמרים תחת מעבר זה נקראים גם "אינווריאנטים לורנץ" כי הם נשמרים תחת טרנספורמציות לורנץ. בתורת היחסות מצא אלברט איינשטיין שני אינווריאנטים קינמטיים:

מהירות האור - תימדד כ־c בכל מערכת ייחוס.
האינטרוול (ריבוע הזמן העצמי) - $\ ds^2 = c^2 (d \tau)^2 = c^2 dt^2 - (dx^2 + dy^2 + dz^2 ) = (c \ dt)^2 - (d \vec{r} \cdot d \vec{r})$ ובפרט, גם הזמן העצמי הוא אינווראנטי לורנץ.

[עריכה] דיאגרמת זמן וקונוס האור

דיאגרמת זמן (נקראת גם "גרף t-x") הוא דרך פופולרית וטובה לתאר את המרחב-הזמן היחסותי. גרף זה מורכב מציר אופקי x המתאר את המרחב (הצמצום לממד מרחבי אחד נעשה מטעמי פשטות ונוחות השרטוט) ומציר אנכי t המתאר את הזמן.

תיאור סכמתי של המרחב-זמן עבור ממד מרחבי אחד (ציר ה x, כאן הוא אופקי) וממד הזמן (ציר ה־t, כאן הוא אנכי).

להלן הסברים על הגרף ומשמעות רכיביו:

הקווים המקווקים הם היפרבולות האינטרוול. על כל היפרבולה שכזו, האינטרוול ds² הוא קבוע.
הקוים האדומים ידועים בשם "קונוס האור" והם מייצגים גופים (B) שנעים במהירות האור.
התחום שבתוך הקונוס מעל הראשית (קונוס העתיד) הוא התחום של כל המאורעות (A) שעליהם המאורע בראשית יכול להשפיע, התחום שבתוך הקונוס ומתחת לראשית (קונוס העבר) הוא תחום כל המאורעות שיכלו להשפיע (D) על המאורע בראשית O.
כל התחום הלבן שמחוץ לקונוס האור מכיל מאורעות שלא יכולים להשפיע או להיות מושפעים מהמאורע בראשית (הם נקראים "מופרדים מרחבית"). הסיבה לכך היא שאם הם יכלו להיות מושפעים מהמאורע בראשית עקרון הסיבתיות היה מופר, שכן טרנספורמציית לורנץ - שמזיזה נקודות לאורך היפרבולת האינטרוול שלהן - יכולה להעביר את המאורעות (למשל את C) למערכת ייחוס אחרת שבה C התרחש לפני O.
הזמן $t p$ מציין את הזמן העצמי לאורך היפרבולת האינטרוול.

[עריכה] ניסוח מתמטי של תורת היחסות באמצעות מרחב-זמן של מינקובסקי

בעזרתו של המתמטיקאי היהודי הרמן מינקובסקי ניסח איינשטיין את תורת היחסות באמצעות חשבון טנזורים במרחב היפרבולי של 4-וקטורים, הקרוי מרחב מינקובסקי. מרחב זה נקרא גם ה"מרחב-זמן" של מינקובסקי.

[עריכה] הגדרות קינמטיות יסודיות

במרחב זה, ה־4-וקטור של מאורע פיזיקלי מוגדר להיות

$\ x^\mu = ( x^0 , x^1 , x^2, x^3 ) := (ct , x , y, z)$

4-וקטור זה מורכב מרכיב זמני ורכיב מרחבי. ה 4-וקטור מתאר את הזמן והמקום שבהם התרחש מאורע פיזיקלי הניתן למדידה. 4-וקטור זה נקרא "4-וקטור האירוע" או "4-וקטור המקום", הסיבה לכך היא שבשביל לתאר מאורע פיזיקלי עליך לציין לגביו 4 פרטים: הזמן בו התרחש ו־3 הקואורדינטות של המקום בו התרחש.

ננהיג סימון מקוצר, הידוע כהסכם הסיכום או הסכם הסומציה של איינשטיין (דבר שאיינשטיין נהג לתאר כ"תרומתי הגדולה ביותר למתמטיקה"):

$\ a^\mu b_\mu = \sum_{\mu=0}^{3}{a^\mu b_\mu} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 = a^0 b^0 - \left( a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 \right)$

יש משמעות לכך שאינדקס אחד מופיע למעלה ואינדקס שני מופיע למטה, אך ההסבר לכך חורג מתחום מאמר זה.

המטריקה של מרחב מינקובסקי (המטריצה המגדירה את המכפלה הסקלרית במרחב) הוגדרה כמטריצה אלכסונית שאיברי האלכסון הראשי שלה הם:

$\ \eta = diag( 1, -1, -1, -1)$

או בכתיב טנזורי

$\ \eta_{0,0} = 1 \ , \ \eta_{0,i} = 0 \ , \ \eta_{i,j} = -\delta_{i,j}$

כאשר i,j מסמלים אינדקסים מרחביים (1,2,3) ו $\ \delta^{i}_{j} = \delta_{i,j}$ היא הדלתא של קרונקר.

לשורש המכפלה של וקטור בעצמו לפי המטריקה, קוראים ה"נורמה" של הווקטור (למרות ש"נורמה" זו היא לא בהכרח אי-שלילית). נחשב את ריבוע הנורמה של 4-וקטור המקום:

$\ x^\mu \eta_{\mu , \nu} x^\nu = x^\mu x_\mu = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2 = c^2 t^2 - \vec{r} \cdot \vec{r} = (ct)^2 - r^2$

וזה בדיוק האינטרוול של הווקטור x , שהוא אינווריאנטה בתורת היחסות.

בניסוח זה, טרנספורמציות לורנץ שמעבירות בין מערכות ייחוס אינרציאליות (על ידי סיבוב או boost), הן מטריצות השומרות על המטריקה (המוגדרת כפי שראינו על-ידי תבנית ריבועית) תחת דמיון מטריצות. את ההגדרה הפורמלית וטיפול נרחב, בליווי דוגמאות ורישום מפורש של הטרנספורמציות, ניתן למצוא במאמר הראשי בנושא: טרנספורמציות לורנץ.

נזכיר ש $\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}$ פקטור לורנץ.

גם 4-וקטור ההפרש בין שני 4-וקטורי מאורע הוא 4-וקטור, ולעתים קרובות הוא שימושי יותר מאשר 4-וקטור המאורע.

ביחס למאורע הראשית, וקטור A מופרד זמנית, וקטור B מופרד אורית ווקטור C מופרד מרחבית

נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של האינטרוול:

אם $\ A^\mu A_\mu > 0$ אומרים שהווקטור הוא timelike, אם 2 מאורעות מופרדים זמנית אז קיימת מערכת בה הארועים מתרחשים באותו מקום, קשר סיבתי אפשרי בין מאורעות כאלה.
אם $\ B^\mu B_\mu = 0$ אומרים שהווקטור הוא lightlike או null, אם 2 מאורעות מופרדים אורית אז רק אפקטים הנעים במהירות האור יכולים להשפיע.
אם $\ C^\mu C_\mu < 0$ אומרים שהווקטור הוא spacelike, אם 2 מאורעות מופרדים מרחבית אז קיימת מערכת בה הארועים מתרחשים באותו זמן, אין קשר סיבתי בין מאורעות כאלה.

[עריכה] מהירות יחסותית ותאוצה

מאחר שיש לנו 4-וקטור של מקום וזמן, נרצה להגדיר גם 4-וקטור מהירות. מאחר שהזמן תלוי במערכת הייחוס, הגדרת המהירות על ידי גזירה לפי זמן לא תהיה עקבית ואחידה. הפתרון הוא לגזור לפי הזמן העצמי - שהוא אינווריאנטי לורנץ - ואז הגדרת ה־4-וקטור המהירות תהיה עקבית. לכן מגדירים:

$\ u^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau} = \gamma \frac{d x^\mu}{d t} = \left( \gamma c \ , \ \gamma v_x \ , \ \gamma v_y \ , \ \gamma v_z \right) = \gamma \left( c \ , \ \vec{v} \right)$

הנורמה של וקטור זה שווה ל c.

זהו 4-וקטור המהירות. לחלק המרחבי שלו $\ \vec{u} = \gamma \vec{v}$ נהוג לקרוא "מהירות יחסותית" (לעומת $\ \vec{v}$ המהירות הקלאסית). יש פיזיקאים שלא בולעים את פקטור לורנץ אל המהירות אלא דווקא בולעים אותו אל המסה, ולגודל זה הם קוראים "מסה יחסותית".

באותו אופן, אפשר גם לחשב תאוצה יחסותית:

$\ \alpha^\mu = \frac{d u^\mu}{d \tau}$

הביטוי שמתקבל הוא מסורבל למדי ולכן איננו רשום כאן.

[עריכה] חיבור מהירויות

מטרנספורמציות לורנץ נובע שכלל חיבור המהירויות הקלאסי $\ v_{1+2} = v_1 + v_2$ תקף רק כקירוב במהירויות נמוכות. כלל חיבור המהירויות היחסותי הוא

$\ v_{1+2} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}}$

מכאן אפשר לראות שגם המהירות החדשה שמתקבלת איננה יכולה לעבור את מהירות האור.

[עריכה] אנרגיה ותנע

כדי לדון בדינמיקה של גופים נעים מגדירים את 4-וקטור התנע-אנרגיה:

$\ p^\mu = m_0 u^\mu = \left( \gamma m_0 c , \gamma m_0 \vec{v} \right)$

כאשר $\ m_0$ היא מסת המנוחה של הגוף. בהרבה ספרים נהוג להגדיר "מסה יחסותית" על ידי $\ m = \gamma m_0$ ובכך ל"בלוע" את פקטור לורנץ. המסה היחסותית איננה אינווריאנטית לורנץ, למעשה - ככל שגוף נע יותר מהר, כך המסה היחסותית שלו גדולה יותר. נביט באיבר הזמני של 4-וקטור התנע, לגודל $\ mc$ יש יחידות של אנרגיה חלקי מהירות ולכן מקובל לרשום אותו כ

$mc = \frac{mc^2}{c} = \frac{ \gamma m_0 c^2 }{c}$

ואז

$\ p^\mu = \left( \frac{E}{c} , \vec{p_{rel}} \right) = \left( \frac{mc^2}{c} \ , \ m\vec{v} \right)$

ומתקיים שמסת המנוחה היא אינווריאנטית לורנץ, שכן

$\ p^\mu p_\mu = (E/c)^2 - p^2 = {m_0}^2 c^2$

כעת נתרשם מדוע $\ E = mc^2 = \gamma m_0 c^2$ . נפתח את האנרגיה כטור טיילור במהירות v ונקבל ש:

$\ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 + \cdots$

נשים לב ש $\ T = \frac{1}{2} m_0 v^2$ היא האינרגיה הקינטית הקלאסית של הגוף. לכן, זיהה איינשטיין את תכולת האנרגיה של הגוף עם המסה היחסותית שלו.

האנרגיה הקינטית היחסותית של הגוף היא $E_k = m c^2 - m_0 c^2 \,\!$ ואילו סך האנרגיה הכללית נתון על ידי $E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4 \,\!$ .

[עריכה] כוח ומשוואות התנועה

החוק השני של ניוטון אומר ש $\ \frac{d p}{d \tau} = f$ וזהו הבסיס למשוואות התנועה גם בתורת היחסות הפרטית. את משוואות התנועה היחסותיות אפשר למצוא באופן ריגורוזי יותר באמצעות שימוש בעקרון הפעולה המינימלית עבור פעולה יחסותית (שבה האינטגרנד הוא גודל אינווריאנטי).

באמצעות עקרון הפעולה אפשר לקבל שמשוואות התנועה הן

$\ m \frac{ d^2 x^\mu}{d \tau ^2} = f^{\mu}$

כאשר f הוא ה 4-כוח, אותו ניתן לחשב באופן הבא: במערכת המנוחה של החלקיק מגדירים ש $\ f^\mu = \left( 0, \vec{F} \right)$ ואז מעבירים אותה למערכת הרצויה בטרנספורמציית לורנץ. באופן מפורש מקבלים שבמערכת כלשהי, בה החלקיק נע במהירות $\ \vec{v}$ ה 4-כוח הוא מהצורה

$\ f^\mu = \left( \gamma \vec{v} \cdot \vec{F} \ , \ \vec{F} + \vec{v} ( \gamma - 1) (\vec{v} \cdot \vec{F}) / v^2 \right)$

לדוגמה, הכוח החשמלי הפועל על חלקיק בודד (כוח לורנץ) הוא

$\ f^\mu = F^{\mu}_{\nu} \frac{dx^\nu}{d \tau}$

כאשר כאן $\ F^\mu_\nu$ הוא טנזור השדה האלקטרומגנטי.

[עריכה] יישומים ומסקנות של תורת היחסות

תורת היחסות הפרטית חזתה דברים מדהימים:

יחסיות הבו זמניות: צופה א' רואה שני ארועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים.
התארכות הזמן: אם מישהו נע יחסית אל הצופה במחצית מהירות האור אזי כאשר הצופה מסתכל על מחוגי השניות של אותו מישהו שנע לקראתי, הצופה יראה תזוזה של שנייה כל 1.15 שניות בשעון שלו. מי שנע לא חש בתופעה זו.
התקצרות האורך: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור, אזי כאשר הצופה מסתכל על אורכה הוא מתקצר ב־13% לעומת האורך במנוחה, אבל מי שבחללית לא יראה שום שוני.
עליית המסה: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור המסה שלה תהיה ב־15% יותר גדולה מאשר המסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא ימדוד שום שינוי.

כל התופעות המדהימות והבלתי צפויות הללו אושרו מאוחר יותר בניסויים. ברוב התופעות הללו אין אנו חוזים בחיי היום-יום כי השפעתן ניכרת רק לגבי גופים הנעים במהירויות גדולות (מהירויות של בערך חמישית ממהירות האור ומעלה). עבור מהירויות נמוכות, השפעת התופעות הללו זניחה ואי-אפשר למדדה ללא אמצעים מדויקים ביותר.

דבר נוסף שחידשה התורה הוא שקילות המסה והאנרגיה - לכל גוף יש אנרגיה אשר אינה קינטית או פוטנציאלית והיא יחסית למסה שלו, על-פי המשוואה המפורסמת E=mc². מכאן שכל גוף יכול להיות מומר באנרגיה שוות ערך למסתו - מה שמהווה את היסוד התיאורטי לפיתוח פצצת אטום בפרט ואנרגיה גרעינית בכלל. ניצול מלא של שקילות זו מתרחש כאשר חומר ואנטי-חומר מתנגשים, אז הם מתאיינים- הופכים לאנרגיה ללא שארית ממהותם המקורית. לעובדה זו יש יישום חשוב מאוד בפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים: האצת חלקיקי יסוד כמו פרוטון או אלקטרון למהירויות אדירות (של יותר מ־80% ממהירות האור) ואז הטחתו בחלקיק אחר תביא - בגלל העקרון של E=mc² - ליצירת הרבה חלקיקים חדשים ולפיזורם בהתאם לחוק שימור התנע. כך אפשר ליצור ולחקור חלקיקים אלמנטריים. זהו העיקרון שעומד מאחורי מאיץ חלקיקים.

יישום נוסף של התורה היא ניסוח חדש וקו-וריאנטי לאלקטרומגנטיות של מקסוול. במסגרת זו אוחדו השדה המגנטי והחשמלי לטנזור אנטי-סימטרי מדרגה 2 (כלומר: מעין מטריצה 4 על 4) $\ F^{ \mu \nu}$ הנקרא טנזור השדה האלקטרומגנטי. באמצעות איחד זה צמצם איינשטיין את משוואות מקסוול לשתיים בלבד, אחת הומוגנית ששקולה למשוואות מקסוול ההומוגניות (אילוצים) ושנייה התלויה בהתפלגות הצפיפות והזרמים במרחב (ששקולה לחוק אמפר וחוק פאראדיי). הניסוח היחסותי לאלקטרומגנטיות נחשב לאלגנטי ביותר, אך בהרבה חישובים עדיין ממשיכים להשתמש בניסוח הקלאסי של מקסוול עם מרחב לחוד וזמן כפרמטר.

לתורת היחסות הפרטית לא היו הרבה יישומים מעשיים ישירים. הסיבה לכך היא שתורת היחסות הפרטית היא תאוריה לשם התאוריה, ולצורך כל יישום מעשי משתמשים בתורת היחסות הכללית, שכן את השפעת הגרביטציה אי-אפשר להזניח, ואילו יחסות פרטית מטפלת רק במערכות אינרציאליות ללא תאוצה.

ברם, לתורת היחסות הפרטית יש חשיבות תיאורטית מהמעלה הראשונה וחייבים להתחשב בה כאשר רוצים לפתח תאוריה המתארת תופעות אלמנטריות הן בסקלה קוונטית והן בסקלה קוסמית.
כדי לקבל תיאור נכון של תופעות קוונטיות יש להשתמש במכניקת קוונטים הבנויה על יסוד היחסות הפרטית. מכניקה קוונטית יחסותית פותחה לראשונה על ידי הפיזיקאי פול דיראק, ולבסוף בתורת השדות הקוונטית, שהיא הבסיס למודל הסטנדרטי.

חשיבותה של תורת היחסות הפרטית היא בפתרון הסתירות של פיזיקת המאה ה־19 ובהיותה בסיס מחשבתי ופילוסופי ליחסות הכללית.

[עריכה] ראו גם

פיזיקה יחסותית:

פיזיקה של המאה ה־19:

מתמטיקה:

אנשים:

אלברט איינשטיין - מפתח התאוריה
ארתור אדינגטון
אלברט אברהם מיכלסון - ביצע את ניסוי מיכלסון-ומורלי
הרמן מינקובסקי - פיתח את מרחב-זמן מינקובסקי לתיאור מתמטי של היחסות הפרטית
מישל בסו - ידידו של איינשטיין
מרסל גרוסמן - עזר לאיינשטיין עם חשבון הטנזורים והניסוח המתמטי של תורת היחסות הכללית
ארנסט מאך - היווה את אחד ממקורות ההשראה של איינשטיין
ברנרד רימן - מתמטיקאי, מגלה הטנזור המטרי וגאומטריה לא-אוקלידית
אנרי פואנקרה - מתמטיקאי, פיזיקאי ופילוסוף