ネイピア数

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ネイピア数 (Napier's constant) は数学定数の一つであり、自然対数の底として用いられる。対数の研究を行ったイギリスの数学者ジョン・ネイピアの名がつけられているが、ネイピアが発見したわけではない。文字eによる表記（立体文字）は、オイラーによるものである。オイラーは、eが、導関数がもとの関数と等しくなる特別な指数関数の底であること、かつ、1/xの積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。従って一般には自然対数の底と呼ばれることが多い。その値は

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …

と続く超越数である。オイラー数と呼ばれることもあるがオイラーの定数と勘違いされる場合もあり注意が必要である。

[編集] 定義

よく用いられる定義をあげる。

[編集] 基本的な定義

$e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n$

右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって複利計算との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、下の等式を変形することにより、上の等式の右辺によって求まることを示した。

$\lim_{h \to 0} {e^{h} - 1 \over h} = 1$

本来 n は自然数として定義されるが、 n を実数としてとった極限も同じであり、適当に変数変換を行ったものを定義とすることもある。

e = exp 1
ln x = 1 となる正の実数 x を e と定義する。

exp x は指数関数、 ln x は自然対数であり、互いに逆関数になっている。これらの関数はネイピア数 e を用いて定義することもあるが、その場合は定義が循環してしまうため上のようにネイピア数の定義に用いることはできない。しかし、これらの関数はネイピア数 e を用いない定義も多く知られており、それらの定義を通して、ネイピア数を定義することができるようになる。