バナッハ＝タルスキーのパラドックス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

バナッハ＝タルスキーのパラドックス: 球を適当に分割して、組み替えることで、元と同じ球を2つ作ることができる。

バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) とは、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できないので注意が必要である）。この操作を行うために球を分割する個数としては、5 つが必要十分である。

この定理は選択公理 (axiom of choice) という公理を用いると厳密に証明出来るが、その内容があまりにも直観に反するため、パラドックスと言われる。ステファン・バナフ（バナッハ）とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに意図していたのは、選択公理が正しくないと示すことであったが、この証明は殆どの数学者に、選択公理は奇怪で非直観的な結果を与えるものだ、と解釈された。

この定理は次のように述べることも出来る。

球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。

ただし、分割合同とは以下のように定義される: A と B をユークリッド空間の部分集合とする。 A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として

$A=\bigcup_{i=1}^n A_i,\quad B=\bigcup_{i=1}^n B_i$

と表すことができ、全ての i について、 $A i$ と $B i$ が合同であるとき、A と Bを分割合同という。

さらに、この定理から次の、より強い形の系を導くことが出来る:

3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内包が空でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。

言い換えると、ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る（当然のごとく材質は変えられない）、ということである。このような分割においては、各断片はルベーグ可測ではない。そのため、各断片は明確な境界や通常の意味での体積を持たない。物理的な分割では可測な集合しか作れないので、現実にはこのような分割は不可能である。しかしながら、それらの幾何学的な形状に対してはこのような変換が可能なのである。

この定理は 3次元以上の全ての次元においても成り立つ。2次元ユークリッド平面においては成り立たないものの、2次元においても分割に関するパラドックスは存在する: 円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の正方形を作ることが出来るのである。これはタルスキーの円積問題(en:Tarski's circle-squaring problem)として知られている。

2次元ユークリッド平面においては、合同変換ではなく面積を保つ変換に条件を弛めると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスと同様な定理が成立することを、1929年にジョン・フォン・ノイマンが証明した。この定理は次のように述べることが出来る。

A と B を2次元ユークリッド空間の内点を持つ有界な部分集合とする。 A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として

$A=\bigcup_{i=1}^n A_i,\quad B=\bigcup_{i=1}^n B_i$

と表すことが出来る。ここで、全ての i について、面積を保つ変換 $f i$ が存在して

$B i = f i (A i)$

とする事が出来る。