Wikipedysta:Olaf/liczba

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Liczba jest abstrakcyjnym obiektem matematycznym. Najprostsze rodzaje liczb, jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów lub krotności pewnej jednostki miary. W popularnym użyciu zapisy liczb naturalnych są używane także jako identyfikatory, np. numery telefonów, dróg, PESEL, ISBN.

W matematyce znane ze szkoły liczby rzeczywiste zostały rozszerzone na takie abstrakcje, jak liczby zespolone, p-adyczne, kwaterniony, czy sedeniony. Niektóre spośród nich (jak liczby zespolone) okazały się przydatne w elektronice (np. impedancja) czy fizyce kwantowej (np. funkcja falowa). Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice trójwymiarowej do prostego obliczania obrotów w przestrzeni. Niektóre bardziej abstrakcyjne liczby, jak liczby p-adyczne nie znalazły zastosowania poza matematyką.

Działania arytmetyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie są uogólniane przez gałąź matematyki, zwaną algebrą, co pozwala badać ich odpowiedniki w abstrakcyjnych systemach takich jak grupy, pierścienie czy ciała.

[edytuj] Opis intuicyjny

Liczby naturalne to dodatnie liczby 1,2,3,...

Wielu autorów wlicza do liczb naturalnych także zero. Kwestia, czy zero nazwiemy liczbą naturalną, czy nie, jest czysto umowna i nie powoduje żadnych problemów, pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.

Liczby całkowite to liczby naturalne (wraz z zerem) 0,1,2,3,... oraz liczby przeciwne do naturalnych: -1,-2,-3...
Liczby wymierne to liczby dające się wyrazić w postaci ułamka $\frac{p}{q}, q\ne 0$ , gdzie $p$ i $q$ to liczby całkowite.
Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz liczby znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, jak $\sqrt{3}$ czy $π$ .
Liczby urojone to liczby, których kwadraty są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. jednostka urojona $i$ , dla której $i 2 = - 1$
Liczby zespolone to liczby rzeczywiste, liczby urojone i liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. $2 + 3 i$

[edytuj] Konstrukcja genetyczna

Kilka podstawowych zbiorów liczbowych możemy skonstruować żądając, aby podstawowe działania arytmetyczne dawały się wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z ewentualnymi nielicznymi wyjątkami, jak dzielenie przez zero) i wynik także był liczbą. Działania takie nazywamy działaniami wewnętrznymi danego zbioru (w tym przypadku zbioru liczbowego).

W zbiorze liczb naturalnych działaniami wewnętrznymi są np. dodawanie i mnożenie. Dodając lub mnożąc dwie liczby naturalne zawsze uzyskamy liczbę naturalną. Dla dodawania i mnożenia można skonstruować działania odwrotne - odejmowanie i dzielenie. Jednak próba odjęcia większej liczby naturalnej od mniejszej wykracza poza zbiór liczb naturalnych - odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym zbioru liczb naturalnych. Podobnie dzielenie.
Rozszerzając zbiór liczb naturalnych o wszelkie możliwe wyniki odejmowania dwóch liczb naturalnych otrzymujemy zbiór liczb całkowitych. Odejmowanie jest już w tym zbiorze działaniem wewnętrznym.
Rozszerzając zbiór liczb całkowitych o wszelkie możliwe wyniki dzielenia liczby całkowitej przez niezerową liczbę całkowitą, otrzymujemy zbiór liczb wymiernych. Działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie przez liczbę niezereową.
Liczby wymierne nie wyczerpują jednak wszystkich możliwych liczb. Przekątna kwadratu o boku 1 ma długość nie dającą się wyrazić liczbą wymierną. Również pole powierzchni koła o promieniu 1 nie daje się wyrazić taką liczbą. Pole to można szacować, pokrywając koło siatką przystających kwadratów o bokach będących liczbami wymiernymi i zliczając pola kwadratów mieszczących się w całości w tym kole. Następnie powtarzając tę operację dla coraz mniejszych kwadratów tworzymy ciąg liczb wymiernych coraz lepiej przybliżających pole naszego koła. Granicę tego ciągu oznaczamy zwykle przez π&aprox;3,141592... Chcąc aby dowolna skończona granica ciągu liczb wymiernych dawała się wyrazić liczbowo, rozszerzamy zbiór liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych.
Nawet jednak liczby rzeczywiste nie wyczerpują pojęcia liczby. Potęgowanie oraz pierwiastkowanie nie są działaniami wewnętrznymi w tym zbiorze - nie da się w jego obrębie obliczyć np. $\sqrt{-1}$ . Uzupełniając zbiór liczb rzeczywistych o wszystkie możliwe wyniki potęgowania dwóch liczb rzeczywistych $x y$ , gdzie $x\ne 0$ lub $y > 0$ uzyskujemy zbiór liczb zespolonych. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie przez liczbę niezerową, oraz potęgowanie liczby niezerowej są działaniami wewnętrznymi tego zbioru.

[edytuj] Liczby naturalne

Na początek załóżmy, że istnieje liczba 1 (cokolwiek by nie miała oznaczać). Chcielibyśmy także dla każdej liczby móc pokazać jej tzw. następnik. Chcąc, aby działanie wyznaczania następnika było działaniem wewnętrznym zbioru liczb, musimy do tego zbioru oprócz liczby 1 dorzucić jej następnik (który oznaczymy 2), następnik liczby 2 (oznaczany 3), itd. Jeśli dodatkowo założymy, że następnikiem żadnej liczby nie jest 1, to otrzymamy zbiór liczb naturalnych.

Ściślej rzecz biorąc, zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez tzw. aksjomaty Peano:

Istnieje pewien obiekt, który oznaczymy $J$ i zaliczymy do liczb naturalnych
Każda liczba naturalna jest równa samej sobie
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ , $a = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b = a$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ , $b$ i $c$ , jeśli $a = b$ i $b = c$ , to $a = c$
Jeśli $a = b$ i $b$ jest liczbą naturalną, to $a$ jest także liczbą naturalną
Dla każdej liczby naturalnej $a$ możemy wskazać jej następnik, który oznaczymy $S a$ . Jeśli $a$ jest liczbą naturalną to $S a$ również.
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ , $a = b$ wtedy i tylko wtedy^[1], gdy $S a = S b$
Jeśli $a$ jest liczbą naturalną, to $S a$ nie jest równe $J$
Dla każdego zbioru $K$ , jeśli $J\in K$ i dla każdej liczby naturalnej $x\in K$ również jej następnik $Sx\in K$ , to każda naturalna liczba należy do $K$

Własności wymienione powyżej spełnia zarówno zbiór liczb naturalnych z zerem, jak i bez niego. W tym pierwszym przypadku $J$ oznacza 0, w tym drugim 1.

W oparciu o następnik można zdefiniować działanie dodawania. Dla liczb naturalnych z zerem definicja ta wygląda tak: Jeśli przepis na otrzymanie liczby $a$ z $J = 0$ przez wielokrotne wykonywanie $S x$ oznaczymy przez $a = S a (J)$ , to dodawanie możemy zdefiniować jako

a + b = S a (S b (0))

Aksjomat numer 8 zabezpiecza przed innymi rozwiązaniami, takimi jak np. uczynienie 0 następnikiem liczby 5. Tak zdefiniowany następnik oraz wynikające z niego dodawanie, byłyby działaniami wewnętrznymi w zbiorze {0,1,2,3,4,5}. W ten sposób uzyskujemy jednak nie liczby naturalne, lecz tzw. kongruencje odpowiadające wykonywaniu działań na resztach z dzielenia liczb naturalnych przez pewną z góry zadaną liczbę (w naszym przykładzie 6).

Równoważne aksjomatyce Peano, lecz bardziej praktyczne, bo określające od razu działania dodawania i mnożenia oraz relacje porządku, jest podejście Kaye (1991). Kaye zakłada w nim, że zero należy do liczb naturalnych:

$\forall x,y,z ((x+y)+z = x+(y+z))$
$\forall x,y (x+y=y+x)$
$\forall x,y,z ((x\cdot y ) \cdot z = x \cdot (y \cdot z))$
$\forall x,y (x\cdot y = y \cdot x)$
$\forall x,y,z (x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z)$
$\forall x ((x + 0 = x) \land (x \cdot 0 = 0))$
$\forall x(x \cdot 1 = x)$
$\forall x,y,z ((x < y \land y < z) \Rightarrow x < z)$
$\forall x \lnot (x < x)$
$\forall x,y ( x < y \lor x = y \lor x > y)$
$\forall x,y,z (x < y \Rightarrow x + z < y + z)$
$\forall x,y,z (0 < z \land x < y \Rightarrow x \cdot z < y \cdot z)$
$\forall x,y ( x < y \Rightarrow \exists z ( x + z = y))$
$0 < 1 \land \forall x ( x > 0 \Rightarrow x \geq 1)$
$\forall x ( x \geq 0)$

Istnieją też systemy aksjomatycznej teorii zbiorów, równoważne arytmetyce Peano, np. w pracy Tarski and Givant (1987: 7.6).

[edytuj] Modele liczb naturalnych

Zbiór dowolnych obiektów, dla którego możemy dwa spośród jego elementów oznaczyć symbolami 0 i 1, oraz zdefiniować działania i relacje występujące w powyższych aksjomatach, tak aby zawsze aksjomaty te były spełnione, można nazywać zbiorem liczb naturalnych. Jest to tzw. model liczb naturalnych.

W sensie logiki matematycznej zbiór taki jest tzw. modelem teorii wyrażonej przez powyższe aksjomaty. Możliwe są różne modele liczb naturalnych. Wszystkie one są równoważne i tym samym nie ma z punktu widzenia praktycznego użycia znaczenia, który z nich przyjmujemy - wyniki wszelkich działań arytmetycznych pozostaną te same.

Na ogół korzysta się z modelu von Neumanna:

Zbiór pusty nazwiemy liczbą naturalną

0

Kolejne liczby naturalne określamy rekurencyjnie:

n + 1

interpretujemy jako

n, n

[edytuj] Liczby całkowite

[edytuj] Opis intuicyjny

Intuicyjnie: liczby całkowite to liczby dodatnie 1,2,3,..., ujemne -1,-2,-3,... oraz zero. Do liczb całkowitych nie należą natomiast np. ułamki, gdy licznik nie dzieli się przez mianownik, np. $\frac{2}{3}$ ani liczby niewymierne.

Każda liczba naturalna jest też całkowita, ale nie każda liczba całkowita jest naturalna.

[edytuj] Aksjomatyka

Zbiór liczb całkowitych można określić przy pomocy podanego wcześniej zbioru aksjomatów Kaye dla liczb naturalnych, odrzucając tylko ostatni aksjomat, ograniczający zbiór do liczb nieujemnych.

Ponieważ nieujemne liczby całkowite spełniają wszystkie aksjomaty liczb naturalnych (są modelem liczb naturalnych), uznajemy więc liczby naturalne za podzbiór liczb całkowitych.

[edytuj] Model

Zbiór dowolnych obiektów, dla którego możemy dwa spośród jego elementów oznaczyć symbolami 0 i 1, oraz zdefiniować działania i relacje występujące w aksjomatach, tak aby zawsze aksjomaty liczb całkowitych były spełnione, można nazywać zbiorem liczb całkowitych. Jest to tzw. model liczb całkowitych.

Mając dowolny model liczb naturalnych (z zerem, lub bez - nie ma to tutaj znaczenia), model liczb całkowitych możemy skonstruować w następujący sposób:

Definiujemy zbiór $K$ par liczb naturalnych $(a, b)$
Wprowadzamy w zbiorze $K$ relację równoważności $(a_1,b_1)\approx (a_2,b_2)\Leftrightarrow a_1+b_2=a_2+b_1$
Relacja ta dzieli zbiór K na rozłączne podzbiory (tzw. klasy abstrakcji), takie, że wewnątrz każdego z nich każda para jest w relacji z każdą.
Liczby całkowite zinterpretujemy jako klasy abstrakcji relacji $\approx$

[edytuj] Liczby wymierne

[edytuj] Opis intuicyjny

Intuicyjnie: liczby wymierne to liczby dające się zapisać w postaci ułamka, np. $-\frac{6}{5}$ .

Każda liczba całkowita jest też wymierna, ale nie każda liczba wymierna jest całkowita.

[edytuj] Aksjomatyka

[edytuj] Model

Mając dowolny model liczb całkowitych (z zerem, lub bez - nie ma to tutaj znaczenia), model liczb wymiernych możemy skonstruować w analogiczny sposób, jak liczby całkowite z liczb naturalnych, jednak stosując mnożenie zamiast dodawania:

Definiujemy zbiór $L$ par liczb całkowitych $(a, b)$ , gdzie $b\ne 0$
Wprowadzamy w zbiorze $L$ relację równoważności $(a_1,b_1)\approx (a_2,b_2)\Leftrightarrow a_1\cdot b_2=a_2\cdot b_1$
Relacja ta dzieli zbiór L na rozłączne podzbiory (tzw. klasy abstrakcji), takie, że wewnątrz każdego z nich każda para jest w relacji z każdą.
Liczby wymierne interpretujemy jako klasy abstrakcji relacji $\approx$

[edytuj] Bibliografia

R. Dedekind, 1888. Was sind und was sollen die Zahlen? (Czym są a czym powinny być liczby?). Braunschweig.
H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik (Podręcznik arytmetyki), Berlin 1861.
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics (Logiczne podstawy arytmetyki)

Pergamon. Tekst o logice matematycznej, który dokładnie dyskutuje aksjomaty Peano a następnie wyprowadza je z różnych systemów teorii zbiorów.

Szablon:Cite book Contains the following two papers, each preceded with valuable commentary.
- Richard Dedekind, Letter to Keferstein (1890) (van Heijenoort p.

98-103), in particular page 100 where he defines and defends his axioms of 1888.

- G. Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita (The principles of arithmetic, presented by a new method), van Heijenoort) p.

83-97, an excerpt of his treatise wherein Peano presents his axioms, and his definitions of e.g. multiplication and division.

Richard Kaye (1991). Models of Peano arithmetic. (modele arytmetyki Peano) Oxford University Press. ISBN 0-19-853213-X
Partick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory (Aksjomatyczna teoria zbiorów). Dover.
Alfred Tarski, and Givant, Steven, 1987. A Formalization of Set Theory without Variables (Formalizacja teorii zbiorów bez zmiennych). AMS Colloquium Publications, vol. 41.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../o/l/a/Wikipedysta%7EOlaf_liczba_3ac3.html"

Wikipedysta:Olaf/liczba

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Opis intuicyjny

[edytuj] Konstrukcja genetyczna

[edytuj] Liczby naturalne

[edytuj] Modele liczb naturalnych

[edytuj] Liczby całkowite

[edytuj] Opis intuicyjny

[edytuj] Aksjomatyka

[edytuj] Model

[edytuj] Liczby wymierne

[edytuj] Opis intuicyjny

[edytuj] Aksjomatyka

[edytuj] Model

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj