Rovnica (matematika)

Z Wikipédie

Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebraickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F(x) = f(x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.

Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".

Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.

Obsah 1 Znak rovná sa 2 Základné definície 3 Premenná, neznáma, parameter 4 Delenie podľa počtu neznámych 5 Delenie podľa riešiteľnosti 6 Delenie podľa typu zobrazení F a f 6.1 Algebraická rovnica 6.2 Nealgebraická rovnica (transcendentná rovnica) 7 Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice 8 Riešenie rovnice

[úprava] Znak rovná sa

Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:

Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.

[úprava] Základné definície

• Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x₁, x₂...x_n (často označované ako x, y, z ...) , hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
• Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a₀, a₁...a_n (často označované ako a, b, c ...)
• Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
• Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F(x) = f(x) pravdivým výrokom
• Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.

[úprava] Premenná, neznáma, parameter

Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:

• neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
• parametre = ostatné premenné

Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.

[úprava] Delenie podľa počtu neznámych

• rovnica s jednou neznámou
• rovnica s viacerými neznámymi

[úprava] Delenie podľa riešiteľnosti

• všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
• riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel )
• neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x )

Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x² = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.

[úprava] Delenie podľa typu zobrazení F a f

[úprava] Algebraická rovnica

Algebraická rovnica je rovnica, kde F a f sú polynomické funkcie nad nejakým poľom, spravidla poľom reálnych alebo komplexných čísiel. Delí sa na:

• lineárna rovnica (algebraická rovnica 1.stupňa): F a f sú lineárne polynomické funkcie viacerých premenných; všeobecný vzorec v prípade jednej neznámej je: ax = b
• kvadratická rovnica (algebraická rovnica 2.stupňa) : F a f sú kvadratické polynomické funkcie viacerých premenných; všeobecný vzorec v prípade jednej neznámej je: a₀x² + a₁x + a₃ = b
• kubická rovnica (algebraická rovnica 3.stupňa): F a f sú kubické polynomické funkcie viacerých premenných; všeobecný vzorec v prípade jednej neznámej je: a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = b
• kvartická rovnica (algebraická rovnica 4.stupňa): F a f sú kvartické polynomické funkcie viacerých premenných; všeobecný vzorec (nazývaný aj bikvadratická rovnica (v širšom zmysle))v prípade jednej neznámej je: a₀x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a ₄ = b
• atď. (algebraická rovnica n-tého stupňa): F a f sú n-té polynomické funkcie viacerých premenných; všeobecný vzorec v prípade jednej neznámej je: a₀xⁿ + a₁x ^n-1 + ...+ a_n = b

Špeciálnym typom algebraických rovníc sú diofantovské rovnice.

[úprava] Nealgebraická rovnica (transcendentná rovnica)

Nealgebraická rovnica je akákoľvek iná rovnica. Možné sú tieto delenia:

• funkcionálna rovnica: Oborom definície sú nejaké množiny funkcií. Zahŕňa:
  • diferenčnú rovnicu
  • diferenciálnu rovnicu
  • integrálnu rovnicu
  • integrodiferenciálnu rovnicu
• maticová rovnica: Oborom definície sú nejaké množiny matíc.

Alternatívne môžeme rozlišovať:

• exponenciálna rovnica (napr. 4^2x = 16 )
• logaritmická rovnica (napr. ln x = -x)
• goniometrická rovnica (napr. x – 1/3 = sin x).
• iné (napr. e^-x = sin x)

[úprava] Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice

Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor - tzv. vektor neznámych x^T = (x₁, x₂...x_n) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor a^T = (a₀, a₁...a_n), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a₀x₀ + a₁x₁ + ...+ a_nx_n = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
a^Tx = b.

Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu - tzv. maticu sústavy:
A =

a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b

Vysvetlivky

• tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
• T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)

[úprava] Riešenie rovnice

Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:

• Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
• Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.

Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.