จำนวน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้มีลิงก์แทรกในบทความที่ข้ามไปภาษาอื่นโดยเป็นลิงก์สีฟ้าอ่อน
โดยผู้เขียนใส่ไว้เพื่อสะดวกในการเขียน และควรแก้ลิงก์ภาษาอื่นเป็นข้อความธรรมดา เมื่อมีลิงก์ภาษาไทยที่ถูกต้อง หรือเห็นควร เพื่อไม่ให้ผู้อ่านสับสน

จำนวน (number) คือวัตถุนามธรรมที่ใช้สำหรับอธิบายปริมาณ จำนวนมีหลายแบบ จำนวนที่เป็นที่คุ้นเคยก็คือ

จำนวนธรรมชาติ {1,2,3,...} (ในหลายครั้งอาจจัดให้ 0 เป็นจำนวนธรรมชาิติด้วย) ที่เขียนแทนด้วยว่า N
ถ้าเรายอมให้มีจำนวนเต็มลบ เราจะได้ จำนวนเต็ม หรือที่เขียนแทนด้วย Z
อัตราส่วนระหว่างจำนวนเต็มเรียกว่า จำนวนตรรกยะ หรือเศษส่วน โดยที่เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเขียนแทนด้วย Q
ในการแสดงจำนวนด้วยระบบตัวเลขทศนิยม ถ้าเรารวม จำนวนที่มีจำนวนหลักไม่จำกัดและไม่จำเป็นต้องมีการซ้ำกันของทศนิยม เข้าไปด้วย เราจะได้จำนวนจริง หรือ R
จำนวนจริงที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ
จำนวนจริงสามารถขยายเป็น จำนวนเชิงซ้อน หรือ C ที่ทำให้เกิดฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่ทุก ๆ พหุนาม ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างสมบูรณ์
จำนวนเชิงซ้อนที่เป็นรากหรือคำตอบของสมการพหุนาม ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนเชิงพีชคณิต
จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิตเรียกว่า จำนวนอดิศัย (transcendental number)

ตัวอักษรสัญลักษณ์ข้างต้น มักเขียนให้เป็นตัวใหญ่บนกระดานดำ นั่นคือ $\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

จำนวนเชิงซ้อน สามารถขยายเป็น ควอเทอร์เนียน แต่การคูณในระบบควอเทอร์เนียนนั้น ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่. ในลักษณะเดียวกัน ออคโนเนียน คือ ส่วนขยายของควอเทอร์เนียน แต่ในครั้งนี้ คุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จะสูญเสียไป ความจริงก็คือระบบพีชคณิตการหารที่มีมิติจำกัด และมีคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่บน R คือจำนวนจริง, จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน เท่านั้น สมาชิกของฟีลด์ฟังก์ชันเชิงพีชคณิตที่มีแคแรกเทอริสติกจำกัดมีลักษณะหลายๆ ประการคล้ายคลึงกับจำนวน ทำให้นักทฤษฎีจำนวนมักพิจารณาให้เป็นจำนวนประเภทหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวน นั้่นแตกต่างจาก ตัวเลข ซึ่งเป็นกลุ่มของสัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวน รูปแบบการเขียนจำนวนด้วยตัวเลขหลาย ๆ หลักถูกอธิบายในระบบตัวเลข

ผู้คนมักนิยมกำหนดจำนวนให้กับวัตถุต่าง ๆ เพื่อสร้างชื่อเฉพาะ ซึ่งมีแผนการให้หมายเลขอยู่หลายแบบ

[แก้] ส่วนขยาย

ส่วนขยายในที่นี้หมายถึงการขยาย จำนวนมาตรฐาน (ซึ่งโดยปกติหมายถึงจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ออกไปให้ครอบคลุม จำนวนชนิดอื่นๆ มากยิ่งขึ้น

จำนวนซูเปอร์เรียล (Superreal) และ จำนวนไฮเพอร์เรียล (hyperreal), ได้นิยามจำนวนอนันต์ และ จำนวนกณิกนันต์เพิ่มเติมในระบบจำนวนจริง
1. จำนวนกณิกนันต์ (infinitesimal number) จำนวนประเภทนี้ ในกรณีเป็นจำนวนบวก หมายถึง "จำนวนที่เล็กกว่าจำนวนจริงบวกทุกตัวแต่ใหญ่กว่าศูนย์" ส่วนกรณีที่เป็นจำนวนลบหมายถึง "จำนวนที่ใหญ่กว่าจำนวนจริงลบทุกตัวแต่น้อยกว่าศูนย์"
2. จำนวนอนันต์ (infinite number) จำนวนประเภทนี้หมายถึง "จำนวนที่ใหญ่กว่าจำนวนจริงทุกตัว" ในกรณีเป็นจำนวนบวก หรือ "จำนวนที่เล็กกว่าจำนวนจริงทุกตัว" ในกรณีเป็นจำนวนลบ

การเพิ่มจำนวนสองประเภทนี้เข้าไปในระบบจำนวนมาตรฐาน มีผลให้แคลคูลัสตามแนวคิดดั้งเดิมของไลบ์นิซสามารถพิสูจน์อย่างเคร่งครัดได้

นอกจากนี้ยังมีจำนวนเซอร์เรียล (surreal number)ที่ถูกนิยามโดยจอห์น คอนเวย์ จำนวนเซอร์เรียลครอบคลุมจำนวนไฮเพอร์เรียลและยังมีจำนวนชนิดอื่นๆ เพิ่มเติมมากขึ้นไปอีก

ในขณะที่จำนวนจริง (ส่วนใหญ่) มีส่วนขยายไปทางด้านขวา (ทศนิยม) ที่มีความยาวไม่จำกัด เราสามารถลองให้จำนวนมีส่วนขยายไปทางด้านซ้ายที่มีความยาวไม่จำกัดในฐาน $p$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ การขยายดังกล่าวจะทำให้เราได้จำนวน p-แอดิก
สำหรับการจัดการกับเซตที่มีจำนวนสมาชิกไม่จำกัด จำนวนธรรมชาติถูกทำให้มีนัยทั่วไปเป็นจำนวนเชิงอันดับที่ (ordinal number) สำหรับระบุลำดับในเซต และจำนวนเชิงการนับ (cardinal number) สำหรับระบุขนาด (ในกรณีของเซตจำกัด จำนวนเชิงอันดับที่และจำนวนเชิงการนับจะเหมือนกัน ความแตกต่างจะเกิดขึ้นในกรณีของเซตไม่จำกัดเท่านั้น)

การดำเนินการทางพีชคณิตของจำนวน เช่น การบวก การลบ การคูณ และ การหาร ถูกทำให้มีนัยทั่วไปในสาขาของคณิตศาสตร์ ที่เรียกว่า พีชคณิตนามธรรม ทำให้เราได้กรุป, ริง, และฟิลด์

[แก้] ดูเพิ่ม

ระบบจำนวนอารบิก
จำนวนคู่และจำนวนคี่
จำนวนขนาดใหญ่
รายการของจำนวน
ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์
จำนวนจากความเชื่อ (mythical number)
จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ
orders of magnitude (numbers)
ค่าคงที่เชิงกายภาพ
จำนวนเฉพาะ
จำนวนขนาดเล็ก
subitizing and counting
จำนวนในภาษาต่างๆ

[แก้] อ้างอิง

Number, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
R. Courant, H. Robbins and I. Stewart. Chapter 9 in What is Mathematics?, 2nd Ed. Oxford University Press, 1996.
D.E. Knuth. Surreal Number. Addison-Wesley, 1974