Goidner Schnitt

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Da Goidne Schnitt (lat. sectio aurea) is as Vahäidtnis zwoara Zoin vo grob 1:1,618. In da Kunst und da Architektur werd des oft aa d´ideale Proportion zwoaraloa Längen zuaranand ogseng und guit oiß der Inbegriff vo Ästhetik und Harmonie. Mehra no gibts des Vahäidtnis vom goidnen Schnitt aa in da Natur, wora se druch mehrane interessante mathematische Eignschaftn auszeichnen duad. Gnennd werda aa stetige Teilung und göttliche Teilung (lat. proportio divina).

Teilung vo a Streckn mim Vahäidtnis vom Goidnen Schitt: a verhoit se z´b wia a+b z´a.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen und Grundeigenschaften
2 Geometrischs
3 Historischs
4 Architektur
5 Kunst
6 Musik
- 6.1 Intervalle
7 Literatur
- 7.1 Historische Literatur
- 7.2 Neuere Literatur
8 Weblinks

[dro wärkln] Definitionen und Grundeigenschaften

As Rechteck mit de Seitn a und b entspricht agrad dann am Goidnen Schnitt, wenns aa fiahras Rechteck mit de Seitn a+b und a da Foi is. A Goidns Rechteck loßt se desweng oiwei in a gleanas Rechteck und in a Quadrat zalegn.

Zwoa Streckn stengan im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt, wenn se d´greßerne zur gleana verhoit wia d´Summ aus beiden zur greßern (schaug Buidl). Des Vahäidtnis werd fui mit dem griechischn Buchstohm Φ (Phi) ausgschuidert. Wenn iatzad d´längerne Streck a und d´kiazane b is, nachad guit

$\frac{a}{b}= \frac{a+b}{a}$

Oiso hamma firahs Vahäidtnis vo a zu b (schaug obi)

$\Phi = \frac{a}{b}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988{...}$

Φ isa a irrationale Zoi, des hoaßt, dass er se iat durch a Vahäidtnis zwoaraloa ganzer Zoin darstäihn. Es zoagt se, dass´ in am gewissn Sinne d´irrationalste fo ålle Zoin is (schaug obi). Des bedeit, dass se se aa no vergleichsweise schlecht durch a Vahäidtnis vo zwoa ganze Zoin onähern loßt, a Zuastand, der wo wesentlich zu ihra Bedeitung in da Natur und wahrscheins aa in da Kunst beitrogt.

Subtrahiert ma da kiazane vo de zwoa Streckn vo da längern, so kriagt ma a no kiazanane Streckn, zu der de mittlane vo drei Streckn aa wiada im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt stähd. Des kriagma aus dera Definition vo ohm, wemma ausgehend vo da Streck a+b de Streckn b obziagt. De Bezeichnung stetige Teilung hoaßt dabei sofui wia, dass se der Vorgang grod beliebig oft wiadahoin loßd und nachad oiwei wiada as säiba Vahäidtnis liafad.

A Rechteck, des wo an Seitenvahäidtnis im Goidnen Schnitt håd, hoaßt ma as Goidne Rechteck und es wern aa gleichschenklige Dreiecke oiß Goidne Dreiecke bezeichnet, wann bei dene zwoa seitn in dem Vahäidtnis stegna duan.

Da Goidne Winkl Ψ≈137,5°

A bedeitnde Roin spuid da sognennde Goidne Winkl Ψ (Psi). Ma kriagt eam, wemma an Winkel 360° im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt teilt. Bezeichnet ma an kleanan vo de zwoa Winkl ois Ψ₁ und an ßan mit Ψ₂, so ergibt se

$\Psi_2 = \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 222{,}5^\circ$

Wei se Winkl kleana wia 180° fiah´d Anwendung ois handtlicha erweisn, werd da kleana Winkl Ψ₁ ois Goidnen Winkl Ψ bezeichnet, oiso

$\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 137{,}5^\circ$

In am enga Zammadhang zum Goidnen Schnitt stähd d´unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zoin, de wo auf Leonardo da Pisa, gnennd Fibonacci (13. Jåhrhundert), zruckgähd:

$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\$ für $n\geq 2$ und ois Ofangswerte $f_0=0\$ und $f_1=1\$

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

A´d jeweis näxte Zoi in dera Foign erhoit ma ois´d Summe vo de zwoa vorherdgånganna. As Vahäidtnis vo zwoa nacharanandkemmadn Fibonacci-Zoin gähd fiah Unendlich gega an Goidnen Schnitt, wos da Johannes Kepler seinerzeit aa scho gwisst håd.

[dro wärkln] Geometrischs

[dro wärkln] Vagleich mid åndane Teilungsvahäidtnisse

A Grund fiah´d Beliebtheit vom Goidnen Schnitt kannt sei hoher Grad an Irrationalität sei. Des bedeit, dassa se vo ålle Vahäidtnisse gleana ganzer Zoin, wia 2 : 3 oder 3 : 4, deitlich obhehm duad, wos in am bestimmtn ästhetischen Zammadhang erwinscht sei konn. Kannt sei, er warrad und werd aa fui unbewusst und ohne gscheide Maßkontroin intuitiv gwäihd, um säichane rationale Längenvahäidtnisse zum vermeihn.

D´foignde Åbbildung vagleicht vaschiane Rechtecke mid schneidige Seitnvahältnisse in da Umgebung vo Φ. Ågehm werd oiwei as Vahäidtnis vo da Hé zua Broahn und am entsprechadn Zoinfaktor.

Typische Einsåtzgebieter (vo links auf rechts):

4 : 3 - Traditionäis Fernsehformat. In da Regl aa bei Computermonitoren (z. B. 1024 × 768 Pixel). Des Format gähd zruck auf Thomas Alva Edison, der 1889 as Format vom klassischn Fuimbuidl (35-mm-Film) auf 24 × 18 mm festglegt håd.
√2 : 1 - As Seitnvahäidtnis beim DIN-A4-Bladdl und de verwandtn DIN-Maßen. Bei a Hoibierung durch an Schnitt, der´d längerne Seitn des Rechtecks hoibiert, entstengan wiada Rechtecke mit am säibn Vahäidtnis.
3 : 2 - Seitnvahäidtnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
Φ : 1 - Seitnvahäidtnis im Goidnen Schnitt. Hier approximiert, oiso o´gnähert, durch 144 × 89 Pixel mid am theoretischen Fähla vo nur 5·10^-5. De zwoa benachbarten Rechtecke ham Seitnvahäidtnisse vo aufeinanderfoignde Fibonacci-Zoin und approximieren desweng aa an Goidnen Schnitt vergleichsweise guad.
5 : 3 - Findt nehm am no breadan 1 : 1,85 ois Kinoformat Verwendung.
16 : 9 - Broadbuildfernsehr.

[dro wärkln] Konstruktiona mim Zirkl und Lineäu

In da Geometrie betracht ma Konstruktionsvafåhrn, de wo nur mid Zirkl und Lineäu auskemman. Fiah´d Teilung vo ana Streck im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt gibts recht fui säicherner Vafåhrn. Es wernd expemplarisch a bår erwähnt.

Beliebts Konstruktionsvafåhrn

As foignde Vafåhrn is wega seina Eifåchheit bliebt.
1. Erricht auf da Streckn AB im Punkt B a Senkrechtn da hoim Läng vo AB mim Endpunkt C.
2. Da Kreis um C mim Radius BC schneidt d´Verbindung AC im Punkt D.
3. Da Kreis um A mim Radius AD teilt d´Streckn AB im Vahäidtnis vom Goidnen Schitt.

Vafåhrn nåchm Euklid

Die folgende Vorschrift geht auf Euklid zurück.
1. Erricht auf da Streckn AB im Punkt A a Senkrechtn der hoim Länge von AB mim Endpunkt C.
2. Da Kreis um C mim Radius CB schneidt d´Verlängerung vom AC im Punkt D.
3. Da Kreis um A mim Radius AD teilt d´Streckn AB im Vahäidtnis des Goidnen Schitts.

Bei dene zwoa Beispui redt ma aa vo a innren Teilung da Ausgangsstreck AB.

Vafåhrn mid "äußrer Teilung"

Im Foigden zwoa Beispui firah äußre Teilung, bei der da zum konstruierende Punkt außahoib da Ausgangsstreckn liegt.
1. Erricht auf da Streckn AS im Punkt S a Senkrechte der Länge AS mim Endpunkt C.
2. Konstruier d´Mittn M da Streck AS.
3. Da Kreis um M mim Radius MC schneidt d´Verlängerung vo AS im Punkt B. S teilt AB im Vahäidtnis des Goidnen Schitts.

Konstruktion nåch Odom

As foignde Konstruktionsvafåhrn is erscht umara 1982 vom amerikanischen Mathematiker George Odom gfundn worn.
1. Konstruier a gleichseitigs Dreieck.
2. Konstruier an Umkreis, oiso an Kreis, der wo durch ålle Eckn des Dreiecks gähd.
3. Halbier zwoa Seitn des Dreiecks in de Punkte A und S.
4. D´Verlängerung vo AS schneidtn Kreis im Punkt B. S teilt AB nachad im Vahäidtnis vom Goidnen Schitt.

Fångt ma mit da Streckn AS o, dann deaf ma zerscht as Dreieck kontruiern, wos in merahne Schnitt problemlos möglich iss.

[dro wärkln] Druhnfuaß (Pentagramm)

Pentagramm

Foidt ma an Papierstreifa nåchm Übahandknotn, so entstengand Streckn im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt.

As Pentagramm, oans vo des äiderstn magischen Symbole da Kulturgschicht, stähd in a bsunders enga Beziehung zum Goidnen Schnitt.

Zu a jäda Streckn und Teilstreckn findt se as Gegenstück, des wo mit eahm im Vahäidtnis vom Goidnen Schitt stähd. In da Åbbildung han ålle drei mögliche Strecknpaare in blaua Fåb (längerne Streckn) und in a orangna Fåb (kiazaneh Streckn) markiert. Übas oben gschrimne Vafåhrn da stetigen Teilung loß´nàhsé nacharanand erzeugn. Theoretisch kannt mas im vakleanadn Druhnfuaß fortsetzn, wos ma ins innerne Fünfeck zeichnen kannt, und so aa in ålle weídahn. Stàndn de zwoa Steckn im Vahäidtnis ganzer Zoin, miassad des Vafåhrn da furthgsetztn Subtraktion na amoi Null ergehm und åbbecha. D´Betrachtung vom Druhnfuaß zaogt aba guad, dass´ iat da Foi is.

Fiahn Beweis, dass aa a Goidner Schnitt is, muaß ma seng, dass neba de Streckn, de ålle aus Symmetriegründ gleich lång sandt, aa CD=CC' guit. Des kimmd daher, dass as Dreieck DCC' zwoa gleich Winkl håd, wia ma Parallelvaschiam da Streckn CC' sigt, und desweng gleichschenklig is. Nåchm Stråhlnsåtz guit :

$\frac{AB}{BB'} = \frac{AC}{CC'}$

Dasetzt ma AC=AB+BC und beacht d´Gleichheit vo de auftredendn Teilstück, so erhoit ma genau d´obige Definitionsgleichungs fiahn Goidnen Schnitt.

[dro wärkln] Goidne Spirale

Goldene Spirale

A Goidns Rechteck låßt se in a Quadrat und in no a Goidns Rechteck zerlegn. Durch wiadahoide Teilung erhoit ma a Figur, de se in a logarithmische Spirale eizeichnen låßt. Oft werds aa, wie in dera Åbbildung, durch a Foign vo Viertlkreise approximiert. Ihr Radius ändert se bei a jäda 90°-Drehung um den Faktor Φ.

De schnecknförmign Kalkheisl vo a bår Tierartn ham a ähnliche Steigung, wia beispielsweise des Nautilus. Bei de meistn vo dene Tierartn iss´d Steigung ned so steil.

[dro wärkln] Goidner Schnitt im Ikosaeder

Drei Goidne Rechtecke im Ikosaeder

De 12 Eckn vom Ikosaeder buihn d´Eckn vo drei gleich große, senkrecht zuaranand stehende Rechtecke mid am gemeinsamen Mittlpunkt und mit am Seitnvahäidtnis im Goidna Schnitt. D´Anordnung dera drei Rechtecke hoaßt aa Goidner-Schnitt-Stui.

[dro wärkln] Historischs

Hippasos vo Metapont (um 450 v. Chr.), der am Geheimbund der Pythagoreer åghead håd, is bei seine Studien am Fünfeck åufgfoin, dass as Vahäidtnis vo Kåntnläng zur Diagonale ned durch ganze Zoin darstellbar war. Des stand im Widerspruch zur Überzeigung vo de Pythagoreer, dass d´Wäid se foiständig durch ganze Zoin bschreim låßn miassad. Ironischerweis håmms d´Widerlergung dieser Ansicht agrad in eahne eignen Symbol, dem Druhnfuaß, ghabt. Hippasos håd oiso as Phänomen vo irrationale Zoin anhand da Inkommensurabilität vo Streckn gfundn - dass oiso fiah BC und AD im Buidl vo ohm koa Maß gibt, so dass de zwoa Streckn beide ganzzahlige Vielfache davo wàhrn - sowia zwoa Größn, de im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt stengand. Unbestätigtn Berichtn zuafoign hådda des åba aa no andane Leid vazäihd und na hammd d´Leid vom Geheimbund eahm zur Stråf datränkt.

D´erschte gscheide Beschreibung vom Goidnen Schnitt is vom Euklid (325 - 270 v. Chr.), der auf den bei seine Untersuchungen an de platonischen Körpern - in Seitnflächn zuaranand kongruente regelmäßige Vielecke - und am Fünfeck beziehungsweis am Druhnfuaß draufgstoßn is. Sei Bezeichnung fiah des Teilungsvahäidtnis hamms späda ois "proportio habens medium et duo extrema" eideitscht, wos heid "Teilung im inneren und äußeren Vahäidtnis" hoaßad"

Menschliche Proportionen nåch Vitruv vo Leonardo da Vinci (1492)

Späda beschäftigte sich da Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 - 1514), der an da Universität vo Perugia in Italien Mathematik glehrt håd, mit Euklids Arbeiten. Er håd d´Streckenteilung Göttliche Teilung gruafa, wos se auf Platons Indentifizierung der Schöpfung mit de fünf platonischen Körpern bezog, zu dera ihra Konstruktion da Goidne Schnitt a wichtigs Huifsmittl dårstäihd. Sei gleichnåmigs Werk De Divina Proportione vo 1509 bstähd aus drei unabhängige Biacha. Bei de erstn handelts se um a rein mathemitsche Åbhandlung, die jedoch koanaloa Bezuag zur Kunst und Architektur herstäihd. As zwoate is a kurzs Traktat über d´Schriften des Römers Vitruv ausm 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in dene Vitruv - a rämischa Architekt, Ingenieur und Schriftstella - d´Proportionen des menschlichen Körpers ois Vorlage fiah Architektur dårstäihd. Des Biache enthoidt a Studie vo Leonardo da Vinci (1451-1519) übern virtruvischn Menschn. As Vahäidtnis da Quadratseitn zum Kreisradius in dem berühmtn Buidl is mit a 1,7%-tigen Abweichung da Goidne Schnitt, der in dem Biacha, des wo dazuaghead, gor ned erwähnt werd. Aa daad ma de Abweichung bei am konstruktiven Verfåhrn ned erwartn.

In Åbhandlungen vaschiana Autorn im 19. Jåhrhundert, bsunders vom Philosophen Adolf Zeising (Lit.: Zeising, 1854) san de zwoa Schriftn zua Thesn zamgfügt worn, Pacioli häd in da De Divina Proportione in Zammårbat min Leonardo da Vinci an Zammadhang zwischn Kunst in am Goidnen Schnitt heagstäihd und na sei Wiadaentdeckung fiah´d Målerei da Renaissance gründt. Zeising is vo da Existenz von am Naturgsetz da Ästhetik überzeigt gwehn, vom dem d´Basis da Goidne Schnitt häd sei miassn. Er håd gsuacht und aa überroin an Goidnen Schnitt gfundn. Seine Schriftn håm se nachad rasch verbreit und a gscheide Euphorie ausglöst. Åndraseits zaogt a Literaturanalyse, dass vorm Zeising neamands in de Werke der Antikn oder da Renaissance an Goidnen Schnitt z´kenna glaabt håd. Deraloa Fund´ hand oiso heidzdåg umstrittn.

D´Bezeichnung Goidner Schnitt is erschtmois 1835, oiso nur wenige Jåhr dafiah, vo Martin Ohm (1792-1872; Bruada vo Georg Simon Ohm) in am Lehrbiache da Mathematik verwendt worn (Lit.: Ohm, 1835). Aa des mit dera sectio aurea kimmd vo dera Zeit.

Gustav Theodor Fechner, a Begründer da experimentelln Psychologie, håd 1876 bei Untersuchungen mid Versuachspersona anhand vo Rechteck´ agrad a Präferenz fiahn Goidnen Schnitt festgstäihd (Lit.: Fechner, 1876). D´Ergebniss´ der Strecknteilung und bei Ellipsn hand åba anderscht ausgfoin und neizeitliche Untersuchungen zoagn, dass as Ergebnis vo säichane Experimente stark aa vom Kontext der Dårbietung obhängt. Fechner håd bei Vamessungen vo Buidln in vaschiane Museen Europas aa no gseng, dass d´Seitnvahäidtnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 btrågn und se damit deitlich vom Goidnen Schnitt unterschein.

Ånfang vom 20. Jåhrhundert warn d´Schriftn vom Rumänen Matila Costiescu Ghyka (1927) zum Goidnen Schnitt aktuell, de wo den religiösen Askept vo Pacioli mihm ästhetischn vo Zeising vabundn håm. Fiah eahm war da Goidne Schnitt as fundamentale Gheimnis des Universums und håd dazu vor ållem Beispui aus da Natur bråcht.

Am End´ vom 20. Jåhrhundert håd d´Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mid röntgenanalytische Vafåhrn unta da Fårb vo Originalgmäidter, de angeblich an Goidnen Schnitt enthoitn, vergeblich nåch deraloa Markierungen oder Konstruktionsspuren gsuacht (Lit.: Neveux, 1995).

[dro wärkln] Architektur

Parthenon-Templ mid fünf ågnomman Goidnen Rechteck wia bei da Goidnen Spirale.

Friae Hinweis auf´d vermuatlich unbwusste Verwendung vom Goidnen Schnitt hand aus da Architektur bekånnt. D´Schriften vom griachischn Gschichtsschreiber Herodot zua Cheops-Pyramide werdn diamoi in der Richtung ausglegt, dass d´Heh vo da Seitnflächn zua Häiftn da Basiskåntn im Vahäidtnis vom Goidnen Schnitt standad. Agrad de Textstelle, de wo då dazuaghean dad, låßt se aber iat eindeitig auslehgn. Åndraseits werd aa d´Thesn vertretn, dass as Vahäidtnis 2:π fiah Pyramidnhéh zua Basiskåntn de tatsächlichn Måße no bessa wiadaspiaglad. Da Unterschied vo dene zwoa Thesn is 1,0 Promille - oiso ned fui.

Fui Werk´ aus da griachischn Antikn wern ois Beispui fiah´d Verwendung vom Goidnen Schnitt ågseng wia d´Vordafront vom 447–432 v. Chr. unter Perikles aufgstäihdn Parthenon-Tempel auf da Athener Akropolis herohmad. Iatz hand´ zu dene åba koane Pläne übaliafad und ma woaß ned, obs de Proportionen durch Zuafoi oda bewusst so gwäihd håm.

Åa in späderne Epochn gibts mehrane Beispui fiah goidne Proportionen, wia beispuisweis da Dom vo Florenz, d´Notre Dame in Paris oda d´Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.)

Es gibt åba koan empirischn Nåchweis fiah a signifikant greßane Heifigkeit vom Goidnen Schnitt in dene Epochn ois wia bei åndane Teilungsvahäidtnisse. Ebenso fäihn historische Beleg´ fiah a åbsichtliche Verwendung vom Goidnen Schnitt.

Da Architekt und Måla Le Corbusier (1887–1965) håd, basierend auf de menschlichn Måßn und am Goidnen Schnitt, ab 1940 a eiheitlichs Måßsystem entwickelt. In seina Schrift Der Modulor (1949), de wo zu de bdeitendstn Schriftn da Architekturgschicht beziehungsweise -theorie ghead, håda des veröffntlicht. Scho 1934 is eahm fiah´d Anwendung vo mathematischn Ordnungsprinzipien vo da Universität Zürich da Titl doctor honoris causa da mathematischn Wissnschåftn valiahn worn.

[dro wärkln] Kunst

Inwiaweid d´Verwendung vom Goidnen Schnitt in da Kunst z´bsunders ästehtische Ergnisse führt, is letztlich a Fråg da jeweis herrschndn Kunstauffåssung. Fiah d´generelle Thesn, dass de Proportion bsunders åsprechend und harmonisch empfundn werd, gibts koane gschichtlichn Belege. Fui Künstla setztnd an Goidnen Schnitt bewusst ei, bei fui Werke hand d´Kunsthistoriker erst im Nåchhinein drauf gstoßn. De Befunde han allerdings ångsichts vo da Fülle an Kandidaten fiah an Goidnen Schnitt, wia mas in am reich vaziahdn Gmäidt´ findn ko, oft umstrittn.

So wernd zåhlreiche Skulpturen griachischa Buidhaua, wia da Apollo von Belvedere, de wo am Leochares (um 325 v. Chr.) zuagschrim werd, oda de Werke vo Phidias (5. Jhd. v. Chr.) ois Beispui fiad Verwendung vom Goidnen Schnitt ågseng. Aufn letztern beziagt se aa de heid übliche Bezeichnung Φ fiah an Goidnen Schnitt, de wi vom amerikanischn Mathematiker Mark Barr eigführt worn is. De ehmfois diamoi vawendte Bezeichnung τ beziagt se dagehgn auf des griachische Wort tome fiah Schnitt.

Da Goidne Schnitt werd aa in fui Gmäidter da Renaissance vermuat´, wia bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, zum Beispui bei Dürers Säibstbuidnis 1500 und seim Kupferstich Melancolia I vo 1514.

Künstla da Neizeid, de an Goidnen Schnitt bewusst eisetztand han beispuisweis Mondrian, Paul Signac und Georges Seurat, Hergé odraa de Künstla vo da Section d'Or.

Aa in da Fotografie werd da Goidne Schnitt zua Buidgstaltung eigsetzt, wia beispuisweis vom franzäsischn Fotograf Henri Cartier-Bresson.

Im Buachdruck is friahras gelegentlich d´Nutzflächn vo a Seitn, da sognennde Satzspiegel, so positioniert, dass as Vahäidtnis vom Bundsteg zum Kopfsteg zum Außensteg zum Fuaßsteg se wia 2:3:5:8 vahoidt. De Wahl wo dene Fibonacci-Zoin Im Buchdruck wurde früher gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der so genannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert an Goidnen Schnitt

Künstla und Håndwerka bnutztndn 19. Jåhrhundert zua Konstruktion beziahungsweis zua Überprüfung vom Goidnen Schnitt oft aa an Goidnen Zirkel, dem wo seine beide Schenkel x-förmig nåch ohmad zua am zwoatn Zirkel verlängert gwehn hand´, und dem seine Schenkellängen so gwäihd warn, dass as Vahäidtnis da beidn Åbschnitt´ an Goidnen Schnitt buidt håd. Andane Instrumenter ham d´Form von am Storchschnabel ghabt.

[dro wärkln] Musik

[dro wärkln] Intervalle

Åå

[dro wärkln] Literatur

[dro wärkln] Historische Literatur

Fra Luca Pacioli: Divina Proportione (Venedig 1509), hg. und übers. von Constantin Winterberg, Wien: Verlag Carl Graeser 1888 Print on Demand.
Martin Ohm: Lehrbuch der gesammten höhern Mathematik. Bd 2. Friedrich Volckmar, Leipzig 1835, 1837. (weniger abstrakt, mehr anschaulich)
Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Leipzig 1854.
Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856.
Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik., Hirzel, Leipzig 1871. (Vorschule der Ästhetik)

[dro wärkln] Neuere Literatur

Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3937219005 (anschaulich geschriebenes Standardwerk des Basler Mathematikers)
Dr. Ruben Stelzner: Der goldene Schnitt und das Mysterium der Schönheit. in: Tycho de Brahe Jahrbuch. Tycho-Brahe-Verl., Niefern-Öschelbronn 2005. ISBN 3-926347-28-7 (naturwissenschaftlich-philosophische Darstellung)
P. H. Richter, H.-J. Scholz: Der Goldene Schnitt in der Natur. in: Ordnung aus dem Chaos. Hrsg. B.-O. Küppers. Serie Piper. Piper, München 1987, S.175-214. ISBN 3-492-10743-5
Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-8154-2511-5, ISBN 3-7281-2336-6
Marguerite Neveux, H. E Huntley: Le nombre d’or – Radiographie d’un mythe. Seuil, Paris 1995. ISBN 2-02-025916-8
Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg, Berlin - Oxford ²1996. ISBN 3-86025-404-9
Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998. ISBN 0-486-40007-7
Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit Verlag, Hamburg 1998. ISBN 3-8258-3408-5 (Diss. Hamburg, 1993)
Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley & Sons, New York 2001, S.239-299. ISBN 0-471-39969-8
Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Frommann-Holzboog, Stuttgart - Bad Cannstatt 2005. ISBN 3-7728-2218-5
S. King u. a.: On the mystery of the golden angle in phyllotaxis. in: Plant, cell & environment (PC & E). Blackwell, Oxford 27.2004,6 (Juni), S.685-96.
Klaus Podirsky: Fremdkörper Erde - Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge und die Strukturbildung im Sonnensystem. Kontext. info3-Verlag 2004. ISBN 3-924391-29-7 (Die faszinierende These einer gemeinsamen Evolution von Kosmos, Erde und Mensch)

[dro wärkln] Weblinks

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