Zlati rez

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Zlati rez (latinsko: sectio aurea, tudi sectio divina) je razmerje, ki ga lahko ponazorimo z razdelitvijo daljice na dva neenaka dela tako, da je razmerje manjšega proti večjemu enako razmerju večjega proti celotni dolžini stranice. Približen faktor je 1,618033988749894.

Eden največjih antičnih matematikov in predvsem geometrov Evklid je v svojih Elementih (V, 11. trditev) postavil problem, ki se glasi: »Dano daljico razdeli na dva neenaka dela tako, da bo ploščina pravokotnika, očrtanega nad celotno daljico z višino manjšega dela daljice enaka ploščini kvadrata, očrtanega na večjem delu daljice.«

Slika 1 - Evklidova definicija

Njegova konstrukcijska rešitev privede do delitve dane daljice v razmerju zlatega reza kot odnosa med posameznimi deli daljice, prav tako pa tudi odnosa posameznih delov daljice proti celotni daljici. Evklid je dano daljico razdelil na dva dela in ju poimenoval major (večji del - M) in minor (manjši del – m) tako, da je veljalo naslednje sorazmerje

${m \over M} = {M \over m + M} \qquad (1) ,$

ali kot je to prikazano na Sliki 1

${AF \over AC} = {AC \over CF } \qquad (2) .$

Iz sorazmerja (1) pridemo po ureditvi do Pitagorovega izreka, ki je osnova za klasično konstrukcijo zlatega reza na daljici:

$M^2 + \left( {{M \over 2}} \right)^2 = \left( {m + {M \over 2}} \right)^2 \qquad (3) .$

Slika 2 - Klasična konstrukcija zlatega reza na daljici

Točko C imenujemo zlata točka, ki deli daljico AB v zlatem rezu. Konstrukcijsko gledano je zlati rez konstrukcijski postopek delitve daljice na dva neenaka dela tako, da je krajši del proti daljšemu v enakem razmerju kot daljši del proti celotni dolžini daljice.

Po rešitvi (3) se izkaže, da je razmerje M:m vedno enako 1,61803398874989... Število imenujemo število zlatega reza.

Vsebina

1 Metoda neprekinjene delitve ali širitve
2 Zlati rez pri Evklidu in Platonu
3 Zlati rez pri svetiščih antične Grčije
4 Glej tudi
5 Zunanje povezave

[uredi] Metoda neprekinjene delitve ali širitve

Delitev daljice po metodi zlatega reza drugače imenujemo tudi metoda neprekinjene delitve, ker so vsi omenjeni deli daljice po parih (M - m, m; m, M; M, m+M) v stalnem sorazmerju. Metoda zlatega reza kot delitvenega postopka se pokaže predvsem v zaporedju dolžin delov daljice, in sicer kot:

$\uparrow :m,M,m + M,m + 2M,2m + 3M,3m + 5M,...\qquad (4) ,$

če osnovno daljico širimo oziroma

$\downarrow :M + m,M,m,M - m,2m - M,2M - 3m,5m - 3M,...\qquad (5) ,$

če osnovno daljico krčimo.

Poenostavljeni primer širitve ali krčitve daljice prikazuje Slika 3, s katero lahko definiramo zunanji in notranji zlati rez.

Slika 3 - Zunanji in notranji zlati rez

O notranjem zlatem rezu govorimo, ko moramo daljico razdeliti v zlatem rezu (na minor in na major). Zunanji zlati rez pa je dopolnitev oziroma razširitev daljice, ki naj ustreza majorju do daljice, katere dopolnjeni odsek tvori s prejšnjim zlato razmerje.

Za splošne podatke o zlatem rezu glejte Zlati rez.

Daljico AB presekamo v zlatem rezu (označenim s točko E), kadar leži točka E na daljici AB in jo deli na dva neenaka dela (AE in EB), pri čemer je razmerje med dolžino celotne daljice AB in daljšim delom daljice enako razmerju med daljšim in krajšim delom daljice.

Če podaljšamo v zlatem rezu (točki E) deljeno daljico AB za njen večji del, se zlati rez nove daljice (ED) nahaja v točki B, t.j. v končni točki prejšnje daljice. Omenjeni postopek lahko poljubno ponavljamo.

Točko E lahko določimo na več različnih načinov.

[uredi] Zlati rez pri Evklidu in Platonu

Prvi, danes nam znani zapisi o vprašanju zlatega reza, izvirajo iz obdobja matematika in geometra Evklida, ki je živel na prehodu iz tretjega v drugo stoletje pred našim štetjem. V Egiptu in Grčiji je Evklid vodil predavanja, ki jih je poslušal tudi Platon. Napisal je več knjig o matematiki in geometriji, v katerih je obravnaval razmerja, kakor tudi tudi kompleksne probleme kot sta »kvadratna iracionalnost« in »stereometrija«.

V dialogu Država Platon svojim sogovornikom razloži, da se nauk o površini imenuje geometrija. O vprašanju razmerij rapravlja v dialogu Timaj (Timaios), kjer opisuje tudi to, čemur danes rečemo »zlati rez«. Pravi takole:

»...kajti, če se izmed treh števil, naj si bodo zmnožki ali kvadrati, srednje do zadnjega vede kakor prvo do sredinskega, in enako zadnje do srednjega kakor srednje do prvega, sledi, da če postaviš srednje na prvo in zadnje mesto ter zadnjega in prvega na sredino, ostane razmerje vedno enako; kadar pa ostajajo vedno v enakem medsebojnem razmerju, sestavljajo celoto. Če bi bilo torej zemeljskemu telesu namenjeno postati gola površina, brez globine, bi zadostoval srednji člen za svojo združitev z drugima dvema...«

V tem dialogu Platon obravnava vprašanje nastanka Zemlje.

[uredi] Zlati rez pri svetiščih antične Grčije

Vsa svetišča antične Grčije ležijo v zlatem rezu daljic oziroma trikotnikov, ki povezujejo druga svetišča antične Grčije. Razmerje med manjšim in večjim delom znaša vedno približno 62%. Pri tem je bilo ugotovljeno, da leži svetišče v Delfih v središču omenjenega labirinta povezav.

Razdalja med svetiščem v Delfih in svetiščem v Epidauru, predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Epidauru in Delosu, 62%. Spodaj je navedenih devet primerov.

Razdalja med svetiščema v Olimpiji in Kalkisu predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Olimpiji in Delosu, 62%.

Razdalja med svetiščema v Delfih in Tebah predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Delfih in Akropoli, 62%.

Razdalja med svetiščema v Delfih in Olimpiji predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Olimpiji in Kalkisu, 62%.

Razdalja med svetiščema v Epidauru in Šparti predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Epidauru in Olimpiji, 62%.

Razdalja med svetiščema v Delosom in Eulesisom (Eulezijem) predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Delosu in Delfih, 62%.

Razdalja med svetiščema v Knososu in Delosu predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Knososu in Kalkisu, 62%.

Razdalja med svetiščema v Delfih in Dodomi predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Delfih in na Akropoli, 62%.

Razdalja med svetiščema v Šparti in Olimpiji predstavlja večji del zlatega reza razdalje med svetiščema v Šparti in na Akropoli, 62%.

Omenjene povezave je leta 1974 odkril Urad za geografsko vojaške raziskave zračne obrambe grške vojske med svojimi izvidniškimi poleti, zaradi vedno enake porabe goriva letal pri letih iz kraja v kraj. Razdalja med Delfi in Afejo je enaka razdalji med Afejo in Šparto. Razdalja med Delfi in Šparto je enaka razdalji med Šparto in Tebami in tudi polovicama razdalj Dodoni - Šparta in Dodoni - Akropola. To je možno pripisati tudi zgoraj omenjenemu odkritju, da so bili Delfi središče geodetsko-geometrične mreže z Olimpijo, Dodoni, Eleusisom, Epidaurom, Afeo, Akropolo, Šparto, Mikenami, Tebami, Kalkijem, Nemeo, Kiniro, Gortisom in Miletom v Mali Aziji.

Po tri svetišča vedno tvorijo enakostraničen trikotnik, s po dvema razmerjema glede na dolžino stranice.

Na trikotniku Dodoni - Delfi - Šparta, ležijo kraji v enakem razmerju kot stranica Dodoni - Šparta s stranico Dodoni - Delfi, stranica Dodoni - Delfi s stranico Šparta - Delfi in stranica Dodoni - Delfi s stranico Delfi - Šparta.

Na trikotniku Knosos - Delos - Kalkis, ležijo kraji v enakem razmerju kot stranica Knosos - Kalkis s stranico Knosos - Delos, stranica Knosos - Kalkis s stranico Kalkis - Delos in Knosos - Delos s stranico Delos - Kalkis.

Na trikotniku Nikozija (Ciper) - Knosos (Kreta) - Dodoni ležijo kraji v enakem razmerju stranic kot Nikozija - Dodoni z Nikozija - Knosos, Nikozija - Dodoni z Dodoni - Knosos in Nikozija - Knosos z Knosos - Dodoni.

Samo v osrednji Grčiji je bilo do danes odkritih 35 tritempeljskih povezav, na celotnem območju pa 300 trikotnikov in 148 zlatih rezov, pri čemer vse povezujejo izključno svetišča antične Grčije, tudi izven današnjega ozemlja Grčije (na primer Izmir). Arheologi menijo, da je v tem primeru težko govoriti o naključju. Posamezni templji so velikokrat oddaljeni več sto kilometrov in pogosto ležijo na otokih. Med njimi velikokrat leži tudi več kot 300 kilometrov morja (na primer trikotnik Knosos - Delos - Argos) in med njimi so pogosto gorske verige ter neprehodna območja. Če takšno mrežo trikotnikov položimo nad antično Grčijo opazimo, da znaša razdalja med omenjenimi kraji vedno 66 kilometrov zračne linije.