Faktoriál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je faktoriál čísla n (značeno n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.

Obsah

1 Definice
2 Využití
3 Vlastnosti
4 Dvojitý faktoriál, multifaktoriál
5 Externí odkazy

[editovat] Definice

Faktoriál je formálně definován takto:

$n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0$

Například:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Jako speciální případ prázdného součinu platí, že

0! = 1

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

$z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$

Gama funkce je definována pro libovolné komplexní číslo, kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

[editovat] Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

${n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$

[editovat] Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

[editovat] Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$