Icosaedro

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Icosaedro regular

Grupo	Sólidos platónicos
Número de caras	20
Polígonos que forman las caras	Triángulos equiláteros
Número de aristas	30
Número de vértices	12
Caras concurrentes en cada vértice	5
Vértices contenidos en cada cara	3
Símbolo de Schläfli	{3,5}
Símbolo de Wythoff	5 \| 2 3
Índices de referencia	U₂₂, C₂₅, W₄
Acrónimo de Bowers	Ike
Grupo de simetría	Icosaédrico (I_h)
Poliedro conjugado	Dodecaedro
Propiedades	Deltaedro regular convexo
Ángulo diedro	138,189685°
Figura en vértice 3.3.3.3.3

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

Etimología: del griego eikosaedron, de eikosi (veinte) + -edron, -hedron (cara). Adjetivo: icosaédrico.

Tabla de contenidos

1 Cálculo de dimensiones fundamentales
2 Coordenadas cartesianas y estructura
3 Proporciones áureas en el icosaedro
4 relaciones geométricas
- 4.1 Icosaedro frente a dodecaedro
5 Simetría
6 Aplicaciones, ejemplos y formas naturales
7 Véase también
8 Enlaces externos

Cálculo de dimensiones fundamentales

Radio externo

$r_u=\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0.9510565163 \cdot a$

Radio interno

$r_i=\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0.7557613141\cdot a$

Ángulo

El ángulo que forman los vectores que van del centro a dos vértices adyacentes es constante y vale:

$angle = 2 \cdot \arcsin \left( \frac{1}{2 \cdot 0.9510565163} \right ) \approx 1.10714872\ rad$

Volumen, área y desarrollo

Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

$V=\frac{5}{12} \left(3+ \sqrt{5} \right) \cdot a^3$
(Aproximadamente 2,18·a³)

Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, A_c), mediante:

$A=20 \cdot A_c=20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 5 \sqrt{3} \cdot a^2$
(Aproximadamente 8,66·a²)

Desarrollo del icosaedro:

Coordenadas cartesianas y estructura

Los 10 pentágonos internos que constituyen el icosaedro.

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los vértices de un icosaedro centrado en el origen:

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

Donde φ = (1+√5)/2 es la razón áurea (también escrito como τ). Nótese que los vértices de un icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonales entre sí. El icosaedro contiene en su interior 15 rectángulos áureos: cada rectángulo contiene a dos aristas opuestas. Esto se debe a que dos lados del rectángulo es la arista del icosaedro y los otros dos son las diagonales de dos pentágonos regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del pentágono regular está en proporción áurea con el lado del pentágono, que en este caso es la arista del icosaedro.

El icosaedro, a pesar de estar formados por 20 triángulos equiláteros, se puede considerar como la unión de 10 pentágonos regulares. Los cortes de los pentágonos entre sí origina los 20 triángulos que conforman el icosaedro.

Proporciones áureas en el icosaedro

En el icosaedro podemos encontrar varias veces el número áureo. En la imagen de la izquierda se pueden apreciar algunas proporciones áureas presentes en el icosaedro:

CD/AB = φ; EG/FG = φ

AD/GD = φ; KH/IK = φ

GD/AG = φ; BN/MN = φ

CL/CI = φ; AH/GN = φ

MN/BM = φ; BM/BF = φ

FG/EF = φ; BF/FM = φ

IK/HI = φ; GD/MD = φ

CI/LI = φ; MD/GM = φ

BC/CG = φ; CG/GB = φ

relaciones geométricas

El icosaedro como tetraedro romo.

Hay distorsiones del icosaedro que, aunque no son regulares, son, sin embargo, de vértices uniformes. Éstas son invariantes en las mismas rotaciones que el tetraedro, y son un tanto análogas al cubo romo y al icosidodecaedro romo, incluyendo algunas formas que son quirales y otras con simetría piritoédrica, y que tienen diferentes planos de simetría que el tetraedro. El icosaedro tiene 58 estrellaciones (59, si se incluye al icosaedro), incluyendo uno de los sólidos de Kepler-Poinsot (el gran icosaedro) y algunas estrellaciones compuestas regulares.

Las 12 aristas de un octaedro pueden ser divididas en la razón áurea por lo que los vértices resultantes definen un icosaedro. Si el icosaedro está inscrito en un cubo, las aristas del icosaedro inscrito están en proporción áurea con las aristas del cubo.

El icosaedro es único entre los sólidos platónicos en poseer un ángulo diedro mayor que 120°. En consecuencia, lo mismo que los hexágonos tienen ángulos iguales a 120° y no se pueden usar como caras para un poliedro regular convexo porque tal construcción no cumpliría el requisito de que por lo menos tres caras se reúnen en un vértice y dejan un defecto positivo para plegarse en tres dimensiones, el icosaedro no puede usarse como celda para un polícoro convexo regular porque, por la misma razón, por lo menos tres celdas deben encontrarse en una arista y dejar un defecto positivo para el plegado en cuatro dimensiones (en general para un politopo convexo en n dimensiones, por lo menos tres caras deben encontrarse en una arista y dejar un defecto positivo para el plegado en un espacio de n dimensiones). Sin embargo, cuando se combina con celdas apropiadas que tienen ángulos diedros menores, el icosaedro se puede usar como celda en polícoros semirregulares (por ejemplo 24-cell redondeado), lo mismo que se pueden usar hexágonos como caras de poliedros semirregulares (por ejemplo el icosaedro truncado). Por último, los politopos no convexos (cóncavos) no necesitan los mismos requisitos estrictos como los politopos convexos, y los icosaedros son, en efecto, las celdas del 120-cell icosaédrico, uno de los diez polícoros regulares no convexos.

Un icosaedro puede ser considerado como una bipirámide pentagonal giroelongada. Se puede descomponer en una pirámide pentagonal giroelongada y una pirámide pentagonal o en un antiprisma pentagonal y dos pirámides pentagonales iguales.

El icosaedro puede ser llamado también tetraedro romo, el redondeo de un tetraedro regular produce un icosaedro regular. Alternativamente, usando la nomenclatura para poliedros redondeados refiriéndose al cubo romo como cuboctaedro romo (cuboctaedro = cubo rectificado) y al dodecaedro romo como icosidodecaedro romo (icosidodecaedro = dodecaedro rectificado), puede llamarse al icosaedro octaedro romo (octaedro = tetraedro rectificado).

Icosaedro frente a dodecaedro

A pesar de las apariencias, cuando un icosaedro es inscrito en una esfera ocupa menos volumen de la esfera (60.54%) que un dodecaedro inscrito en la misma esfera (66.49%).

Simetría

Un icosaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los vértices opuestos; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

Aplicaciones, ejemplos y formas naturales

Por manera de subdividir cada cara del icosaedro en triángulos se puede construir domos geodésicos.

En muchos juegos de rol, tales como Dragones y Mazmorras, el dado de veinte caras (abreviado, d20) tiene un papel vital determinando el éxito o el fracaso de una acción. Este dado tiene la forma de un icosaedro regular. Puede ser numerado de "0" a "9" dos veces, pero la mayoría de las versiones modermas se numeran de "1" a "20".

Circogonia icosahedra, una especia de radiolaria.

Muchos virus, por ejemplo el virus del herpes, tienen la forma de un icosaedro. Las estructuras virales se construyen en base a unidades proteicas idénticas repetivas varias veces y el icosaedro es la forma más sencilla para ensamblar usando estas subunidades. Se usa un poliedro regular porque puede ser construido en base a una unidad proteica única usándola una y otra vez; esto ahorra espacio para el genoma vírico. También algunos protistas, en especial algunos radiolaria, tienen forma icosaédrica, como Circogonia icosahedra.

El dado interno de una bola del 8 mágica que tiene 20 respuestas impresas para preguntas de tipo sí-no es un icosaedro regular.

Si cada arista de un icosaedro se reemplaza por una resistencia de un ohmio, la resistencia entre vértices opuestos es de 0.5 ohmios, y entre vértices adyacentes es de 11/30 ohmios.

La proyección de Fuller (o mapa Dymaxion, creado por Richard Buckminster Fuller) es una proyección gnomónica basada en el icosaedro.

El icosaedro es la forma que tiene el "dogic", un juguete parecido al cubo de Rubik.

Véase también

Enlaces externos

Commons alberga contenido multimedia sobre Icosaedro.Commons
Los poliedros uniformes
Poliedros en realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
[1] A discussion of viral structure and the icosahedron
Paper Models of Polyhedra Varios enlaces
El icosaedro y los mapas de Fuller

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Categorías: Sólidos platónicos | Deltaedros