Número entero

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Sistema numérico en matemática.

Conjuntos de Números

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

Naturales $\mathbb{N}$
Enteros $\mathbb{Z}$
Racionales $\mathbb{Q}$
Irracionales
Reales $\mathbb{R}$
Complejos $\mathbb{C}$

Números destacables

- π (Pi) (3,1415926535...)
- e (2,7182818284...)
- Φ (1,6180339887...)
- i $(0;1)$

Números Especiales

Nominales
Ordinales {1^o, 2^o, ...} (de orden)
Cardinales { $\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots$ }
Números infinitos
Números transfinitos

Números con propiedades especiales

Primos $\mathbb{P}$ , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Tabla de contenidos

1 Introducción intuitiva a los números enteros
- 1.1 Estructura de los números enteros
2 Introducción formal de los números enteros: construcción a partir de números naturales
3 Definición de adición y multiplicación sobre números enteros
4 Propiedades de los números enteros
5 Historia
6 Véase también

[editar] Introducción intuitiva a los números enteros

Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.

Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir:

8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en consecuencia, un número entero.

[editar] Estructura de los números enteros

Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incognita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (ℤ,+,·) constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante $\mathbb{Z}$ (el origen del uso de Z es el alemán Zahlen 'números').

[editar] Introducción formal de los números enteros: construcción a partir de números naturales

Nótese que un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo $- 3 = 5 - 8$ , de donde puede asociarse el número $- 3$ con el par ordenado $(5,8)$ de números naturales. Sin embargo, debido a que $(4,7)$ y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado $- 3$ al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que $- 3 = (5,8)$ . Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado $- 3$ al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados $(a, b)$ y $(c, d)$ puedan ser asociados al mismo número entero si:

$~a-b=c-d$ .

(1)

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en $\mathbb{N}$ cuando $a < b$ . Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

$~a-b=c-d$

equivale a

$~a+d=b+c$

Ciertamente $a+b\in\mathbb{N}$ para cualesquiera $a,b\in\mathbb{N}$ , de tal manera que puede definirse una relación $\sim$ sobre $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ mediante:

$(a,b)\sim (c,d)\quad$

si y solo si

$~a+d=b+c$

La relación $\sim$ es una relación de equivalencia que produce en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo

$~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3$

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir

$\begin{cases} ~[(n,0)]=n \\ ~[(0,n)]=-n \end{cases}$

para todo $n\in\mathbb{N}$

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

$\begin{cases} ~[(n+1,1)]=n \\ ~[(1,n+1)]=-n \end{cases}$

para todo $n\in\mathbb{N}$

Luego el cero puede definirse como

$~0=[(n,n)]$

para todo $n\in \mathbb{N}$

El escoger $(n,0)$ y $(0, n)$ (o $(n + 1,1)$ y $(1, n + 1)$ para cuando no se acepta $0\in\mathbb{N}$ ), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

$\begin{cases} ~[(n+m,m)]=n \\ ~[(m,n+m)]=-n \end{cases}$

para todo $n\in\mathbb{N}$

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

$\mathbb{Z}=\{[(a,b)]_{\sim}\mid (a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}\}$

(2)

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación $\sim$ sobre el producto cartesiano $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ . Esto es, $\mathbb{Z}$ es el conjunto cociente:

$\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim$ .

(3)

[editar] Definición de adición y multiplicación sobre números enteros

Se define la adición ( $+$ ) sobre $\mathbb{Z}$ como sigue:

$~[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c\ ,\ b+d)]$

para todo $a,b,c,d \in \mathbb{N}$

teniendo previamente definida la adición sobre $\mathbb{N}$ . La definición anterior no depende de los representantes $a,b,c,d \,$ escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) \,$

La multiplicación ( $\cdot$ ) sobre $\mathbb{Z}$ se define como sigue:

$~[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)]$

para todo $n\in \mathbb{N}$

teniendo previamente definida la multiplicación sobre $\mathbb{N}$ . La definición anterior está correctamente definida debido a que:

$(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc) \,$

[editar] Propiedades de los números enteros

[editar] Propiedades de clausura

Si $a,b\in\mathbb{Z}$ , existen $(m,n),(p,q)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tales que:

$a=[(m,n)] \qquad b=[(p,q)] \,$

y, de esto,

$a+b=[(m,n)]+[(p.q)]=[(m+p\ ,\ n+q)].$

De la clausura de la adición sobre $\mathbb{N}$ , se sigue, por definición, que

$a+b\in\mathbb{Z}$

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad de clausura:

Para cualesquiera $a,b\in\mathbb{Z},\qquad a+b\in\mathbb{Z}$

Lo mismo cumple la multiplicación sobre $\mathbb{Z}$ :

Para cualesquiera $a,b\in\mathbb{Z},\qquad a\cdot b\in\mathbb{Z}$

[editar] Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre $\mathbb{Z}$ se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

Para cualesquiera $a,b,c\in\mathbb{Z},\qquad a+(b+c)=(a+b)+c$

Para cualesquiera $a,b,c\in\mathbb{Z},\qquad a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

[editar] Propiedades conmutativas

Puesto que

$~[(m,n)]+[(p.q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)]$ ,

para cualesquiera $m,n,p,q\in \mathbb{N}$ , tenmos que

Para cualesquiera $a,b\in\mathbb{Z},\quad a+b=b+c.$

Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre $\mathbb{Z}$ . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

Para cualesquiera $a,b\in\mathbb{Z},\quad a\cdot b=b\cdot a.$

[editar] Propiedad distributiva

Sean los enteros $[(a, b)]$ , $[(c, d)]$ y $[(m, n)]$ . Tenemos

$[(m,n)]\cdot \left( [(a,b)]+[(c,d)]\right)$	$~=$	$[(m,n)]\cdot [(a+c\ ,\ b+d)]$
	$~=$	$\left[\left(m(a+c)+m(b+d)\ ,\ n(a+c)+n(b+d)\right)\right]$
	$~=$	$\left[\left((ma+mb)+(mc+md)\ , \ (na+nb)+(nc+nd)\right)\right]$
	$~=$	$[(m,n)]\cdot [(a,b)]+[(m,n)]\cdot [(c,d)]$ .

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

Para cualesquiera $m,a,b\in\mathbb{Z},\quad m(a+b)=ma+mb$

[editar] Existencia de elementos neutros

El cero, $0 = [(n, n)]$ , $n\in\mathbb{N}$ , tiene la característica de que para todo entero $[(a, b)]$ ,

$[(a,b)]+[(n,n)]=[(a+n\ ,\ b+n)],$

y como $a + (b + n) = b + (a + n)$ sean cuales sean los números naturales $a, b, n,$ tenemos $(a,b)\sim(a+n\ ,\ b+n)$ , de donde $[(a,b)]=[(a+n\ ,\ b+n)]$ , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre $\mathbb{Z}$ . En

$~a+0=a$ para todo $a\in\mathbb{Z}$ .términos más sencillos,

Se define $1\in\mathbb{Z}$ como sigue:

$1=[(1+n\ ,\ n)]$ .

Vemos que, para todo entero $[(a, b)]$ ,

$[(a,b)]\cdot [(1+n\ ,\ n)]=[(a+an+bn\ ,\ an+b+bn)],$

y, puesto que $(a,b)\sim(a+an+bn\ ,\ an+b+bn)$ , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre $\mathbb{Z}$ . Es decir,

$a\cdot 1=a$ para todo $a\in\mathbb{Z}$ .

a+b _ c

[editar] Existencia de elemento opuesto

Para cada número $a \,$ existe un elemento opuesto que denotaremos por $\bar{a} \,$ tal que:

$a+\bar{a} = a + \bar{a} = 0$

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como $\bar{a} = [(0,a)] = -a$ , que cumple obviamente la propiedad anterior:

$\begin{cases} {a+\bar{a}=[(a,0)]+[(0,a)] = [(a,a)] = 0} \\ {\bar{a}+a=[(0,a)]+[(a,0)] = [(a,a)] = 0} \end{cases}$

[editar] Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos $\bar{a}$ y $\bar\bar{a}$ , entonces sucede que:

$\begin{cases} {a+\bar{a}=0} \\ {a+\bar\bar{a} = 0} \end{cases} \Rightarrow {\bar{a}+(a+\bar{a})=0=\bar{a}+(a+\bar\bar{a})} \Rightarrow {(\bar{a}+a)+\bar{a}=(\bar{a}+a)+\bar\bar{a}} \Rightarrow {\bar{a}=\bar\bar{a}}$

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

[editar] Propiedades cancelativas

Sean $a,b,c\in\mathbb{Z}$ y $a + b = a + c$ . Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

$a+b=a+c\quad \Rightarrow\quad -a+a+b=-a+a+c\quad \Rightarrow\quad 0+b=0+c\quad \Rightarrow\quad b=c$

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

Para todo $a,b,c\in\mathbb{Z},\quad a+b=a+c\quad \Rightarrow\quad b=c$ .

Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe usarse un método distinto, ya que no todo elemento de $\mathbb{Z}$ es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto $\mathbb{Z}$ , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que $\mathbb{Z}$ es un dominio íntegro. Sean pues $a,b,c\in\mathbb{Z}$ , y $a b = a c$ con $a\neq 0$ . Tenemos que $a b - a c = 0$ , y de la propiedad distributiva $a (b - c) = 0$ , o sea que $b - c = 0$ , lo que demuestra que $b = c$ .

Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente

Para todo $a,b,c\in\mathbb{Z}$ , con $a\neq 0,\quad ab=ac\quad \Rightarrow\quad b=c$ .

[editar] Propiedades de Orden

[editar] Propiedad reflexiva del orden

a ≤ a

[editar] Propiedad antisimétrica del orden

Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

[editar] Propiedad transitiva del orden

Si a < b y b < c, entonces a < c.

[editar] Compatibilidad del orden con las operaciones

Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,
Si b ≥ a entonces b+c ≥ a+c,

para todo c ∈ $\mathbb{Z}$ .

y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c

[editar] Propiedad o axioma de la buena ordenación

Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.

Este axioma indica que el conjuntoS tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es mayor que todos los elementos del conjunto S.

[editar] Historia

Los números históricos encontraron por primera vez una aplicación en los balances contables. A veces cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30" podía represetar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban idealmente una cantidad de unidades no divididas (debidas o poseídas pero siempre cantidades indivisibles).

Tal vez por el hecho de que los números negativos podían ser representados como naturales, aunque escritos con tinta de color diferente, históricamente fueron rechazados como entidades "no existentes" realmente, sino sólo como artificios contables. No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India ^{[cita requerida]}.

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../n/%C3%BA/m/N%C3%BAmero_entero.html"

Categorías: Teoría de números | Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias

Número entero

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tabla de contenidos

[editar] Introducción intuitiva a los números enteros

[editar] Estructura de los números enteros

[editar] Introducción formal de los números enteros: construcción a partir de números naturales

[editar] Definición de adición y multiplicación sobre números enteros

[editar] Propiedades de los números enteros

[editar] Propiedades de clausura

[editar] Propiedades asociativas

[editar] Propiedades conmutativas

[editar] Propiedad distributiva

[editar] Existencia de elementos neutros

[editar] Existencia de elemento opuesto

[editar] Unicidad del elemento opuesto

[editar] Propiedades cancelativas

[editar] Propiedades de Orden

[editar] Propiedad reflexiva del orden

[editar] Propiedad antisimétrica del orden

[editar] Propiedad transitiva del orden

[editar] Compatibilidad del orden con las operaciones

[editar] Propiedad o axioma de la buena ordenación

[editar] Historia

[editar] Véase también

Views

Navegación

Buscar

Otros idiomas