Szereg Fouriera

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Należy w nim poprawić: Zbyt kolokwialny styl.
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

[edytuj] Intuicje

Zasada: "Jak nie możesz sobie poradzić, podziel problem na części które łatwiej rozwiązać." ma zastosowanie w matematyce i fizyce. Dobitnym przykładem tego jest właśnie szereg Fouriera.

W przyrodzie dość często mamy do czynienia z wielkościami zmieniającymi się w sposób okresowy, przykładowo położenie Ziemi względem Słońca, wychylenie struny od gitary czy ciśnienie akustyczne przez nią wywoływane (fala dźwiękowa). Fakt ten nie mógł oczywiście ujść uwadze naukowców. Dlatego też funkcje okresowe zawsze stanowiły obiekt zainteresowania matematyków.

Jak podzielić funkcję okresową (zakładamy, że mamy do czynienia z "przyzwoitą" funkcją okresową - posiadającą okres podstawowy) na prostsze części? To pytanie nie ma oczywiście jednej odpowiedzi - można to zrobić na wiele sposobów. Jednym z nich, który prędko przychodzi na myśl, jest przedstawienie jej jako sumy prostszych składników. Tylko jakie one powinny być? Nie ulega wątpliwości że również powinny być funkcjami okresowymi, a ponadto ich okres podstawowy powinien być całkowitą wielokrotnością okresu podstawowego funkcji.

Sięgając swoim umysłem do wiedzy matematycznej ze szkoły szybko znajdujemy taką funkcje - jest to funkcja sinus, a ściśle rzecz biorąc funkcja sinusoidalna: Asin(ωx+φ). Funkcja ta ma wszystkie "dobre" własności - jest ciągła, ograniczona, a do tego możemy ją różniczkować dowolną liczbę razy.

Lwią część funkcji okresowych, a w szczególności funkcje mające zastosowanie praktyczne, da się przedstawić w postaci sumy sinusów - zazwyczaj nieskończonej.

Co nam to daje? Z matematycznego punktu widzenia, możemy teraz łatwiej rozwiązywać liniowe równania różniczkowe. Przedstawiając zmienne zależne takiego równania za pomocą szeregu Fouriera otrzymujemy równanie algebraiczne, które nieporównanie łatwiej rozwiązać.

[edytuj] Definicja

Niech dana będzie pewna funkcja okresowa $\mathbb{R} \ni x \to f(x) \in \mathbb{R}$ , (okres T, $T \in \mathbb{R}^{+}$ ), bezwzględnie całkowalna w przedziale [-T/2, T/2].

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

(1.1) $S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac {2n\pi}{T}x + b_n \sin \frac {2n\pi}{T}x \right)$

O współczynnikach określonych następującymi wzorami:

(1.2) $a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \frac {2n\pi}{T}xdx$ n = 0, 1, 2,...

(1.3) $b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \frac {2n\pi}{T}xdx$ n = 1, 2, 3,...

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak, po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (T oznacza okres funkcji) $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ . $ω$ nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Stosując takie oznaczenie powyższe wzory przyjmują postać:

(1.1a) $S(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos n \omega x + b_n \sin n \omega x \right)$

(1.2a) $a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos n \omega x dx$ n = 0, 1, 2,...

(1.3a) $b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin n \omega x dx$ n = 1, 2, 3,...

[edytuj] Przykłady

Aproksymacja funkcji prostokątnej szeregiem Fouriera

Aproksymacja funkcji piłokształtnej szeregiem Fouriera

Aproksymacja funkcji trójkątnej szeregiem Fouriera

[edytuj] Własności

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

[edytuj] Lemat I (całki pomocnicze)

n jest liczbą całkowitą

$\int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = 0 \atop 2T ~~~ gdy ~~ n=0 } \right.$

$\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x dx = 0$

m, n są liczbami naturalnymi

$\int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \cos m \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = m \atop T ~~~ gdy ~~ n = m } \right.$

$\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x \sin m \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = m \atop T ~~~ gdy ~~ n = m } \right.$

$\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x dx \cos m \omega x = 0$

[edytuj] Lemat II

$\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = \frac{\sin (N+\frac{1}{2}) \alpha}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha}$

[edytuj] Dowód

$\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = \Re \left(-\frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{N} e^{ i n \alpha} \right) = \Re \left( -\frac{1}{2} + \frac{1-e^{i(N+1) \alpha}}{1 - e^{i \alpha}} \right) =$ $= -\frac{1}{2} + \frac{1}{|1-e^{i \alpha}|^2} \Re ((1-e^{i(N+1) \alpha})(1-e^{-i \alpha})) =$ $=-\frac{1}{2} + \frac{1}{(1- \cos \alpha) ^2 + \sin^2 \alpha} \Re (1-e^{-i \alpha} -e^{i(N+1) \alpha} + e^{iN \alpha})$

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

$\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = -\frac{1}{2}+\frac{1-\cos \alpha - \cos (N+1) \alpha + \cos N \alpha}{2(1- \cos \alpha)} =$ $= \frac{\cos N \alpha - \cos (N+1) \alpha}{2(1- \cos \alpha)} = \frac{2 \sin (N+\frac{1}{2}) \alpha \sin \frac{1}{2} \alpha}{4 \sin^2 \frac{1}{2} \alpha} = \frac{\sin (N+\frac{1}{2}) \alpha}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha}$

q. e. d.

[edytuj] Lemat III (Riemanna)

Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a; b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to $\lim_{\nu \to \infty} \int\limits_a^b f(x) \sin \nu xdx = 0$

[edytuj] Dowód

Zobacz więcej w osobnym artykule: Lemat Riemanna.

[edytuj] Twierdzenie (Eulera–Fouriera)

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f(x) to współczynniki $a n, b n$ są wyrażone wzorami (1.2), (1.3).

[edytuj] Dowód

$f(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \left(a_n \cos k \omega x + b_n \sin k \omega x \right)$

Mnożąc powyższą równość przez $cos n ω x$ , całkując szereg w granicach od -T do T (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy: $\int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx = \frac {a_0}{2} \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x dx +$ $+ \sum_{k = 1}^\infty \left(a_k \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \cos k \omega x dx + b_k \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \sin k \omega x dx \right)$

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że n jest różne od k (gdy n = 0 zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy: $\int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx = a_n T$

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy razy sinus)

q. e. d.

[edytuj] Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie $x 0$ to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

[edytuj] Dowód

Niech $x 0$ będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy oczywiście:

$a_n \cos n \omega x_0 + b_n \sin n \omega x_0 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx \cos n \omega x_0 +$ $+ \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \sin n \omega x dx \sin n \omega x_0 =$ $=\frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x)(\cos n \omega x \cos n \omega x_0 + \sin n \omega x \sin n \omega x_0)dx =$ $= \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega (x-x_0)dx$

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób: $S_N = \frac{1}{2T} \int\limits_{-T}^{T} f(x)dx + \sum_{n=1}^N \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega (x-x_0)dx =$ $= \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \left( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^N \cos n \omega (x-x_0) \right) dx$

Stosując do tego wyrażenia lemat II otrzymujemy następujący wzór: $S_N = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) (x-x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} (x-x_0)}dx$

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

$S_N = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x+x_0) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx$

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest oczywiście rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f(x) = 1 mamy: $1 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx$

Mnożąc powyższą równość przez $f (x 0)$ i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu otrzymujemy:

(*) $S_N - f(x_0) = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} (f(x+x_0) - f(x_0)) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx$

Rozważmy następującą granicę: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{x} \frac{x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} = \frac{f'(x_0)}{\omega}$

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie $x 0$

Możemy określić następującą funkcję: $\phi (x) = \left \{ {\frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} ~~~ gdy ~~ x \not = 0 \atop \frac{f'(x_0)}{\omega} ~~~ gdy ~~ x=0 } \right.$

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki wzór (*) możemy zapisać w postaci:

$S_N - f(x_0) = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \phi (x) \sin \omega (N+\frac{1}{2}) xdx$

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc: $\lim_{N \to \infty} (S_N - f(x_0)) =\lim_{N \to \infty} \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \phi (x) \sin \omega (N+\frac{1}{2}) xdx = 0$