Fourier'n muunnos

Wikipedia

Mikä tahansa (riittävän säännöllinen) funktio voidaan esittää siniaaltoisten funktioiden integraalina. Fourier'n muunnos kertoo näiden sinimuotoisten komponenttien suuruuden ja vaiheen.

Fourier'n muunnos on jatkuva integraalimuunnos. Fourier'n muunnos $\hat f(\omega)$ funktiosta $f(x)\,$ voidaan määritellä

$\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x}\, f(x) dx$ .

Kaavassa $\omega\,$ on (kulma)taajuus ja Fourier'n muunnoksen määritelmä riippuu normalisaation ja eksponenttifunktion etumerkin valinnasta, joten kirjallisuudessa on usein nähtävillä myös hieman poikkeavia määritelmiä. Fourier'n muunnokseen liittyy kiinteästi käänteismuunnos, joka riippuu Fourier'n muunnoksen valinnasta. Edellä esitetyn Fourier'n muunnoksen käänteismuunnos on

$f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega x}\, \hat f(\omega) d \omega$ .

[muokkaa] DFT

Käytännön sovelluksissa Fourier'n muunnos lasketaan numeerisesti käyttäen diskreettiä Fourier'n muunnosta (DFT). Siinä signaali ajatellaan jaksolliseksi jolloin se voidaan esittää Fourier'n sarjana ja integraali korvata summalausekkeella.

$F_n=\sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-2\pi ink/N}$ .

Kaavassa $f_k\,$ pitää sisällään muunnettavan funktion arvot välillä [0,1], joka on jaettu N:ään osaan.

Vastaava käänteismuunnos on

$f_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} F_n e^{2\pi ink/N}$ .

[muokkaa] FFT

Jos DFT lasketaan suoraan määritelmästä tarvittavien laskentaoperaatioiden määrä on verrannollinen näytepisteiden määrän neliöön $N^2\,$ . Siksi DFT lasketaan usein optimoiduilla algoritmeilla jotka tunnetaan nimellä nopea Fourier'n muunnos eli FFT (Fast Fourier Transform). FFT:n laskennallinen kompleksisuus on luokkaa $O(N \, \operatorname{log} \, N\,)$ . Nopeusero tulee merkitykselliseksi verrattain nopeasti, erityisesti suurilla näytepisteiden määrillä.

FFT:tä käytetään hyväksi teollisuuden sovelluksissa, jotka perustuvat ilmiöiden jaksollisuuden tai spektrin mittaamiseen. Esimerkikisi tutkimalla valssatun nauhan paksuusprofiilia FFT:llä voidaan löytää epäkeskeisesti hiotut valssit tai kuluneet laakerit. Laakereiden kunnon seurantajärjestemät perustuvat samaten FFT:n. Muita tärkeitä FFT sovelluksia ovat OFDM tietoliikennetekniikassa sekä kuvan rekonstruktio magneettikuvauksessa.