Lineaariavaruus

Wikipedia

Tämä artikkeli sisältää päällekkäistä tietoa artikkelin Vektoriavaruus kanssa, ja ne pitäisi yhdistää.

Lineaariavaruus tai vektoriavaruus tarkoittaa matematiikassa rakennetta, joka koostuu annetusta vektorijoukosta ja kerroinkunnasta, joille on määritelty vaaditut operaatiot. Sen on oltava suljettu vektorien yhteenlaskun ja kerroinkunnan alkioilla kertomisen suhteen. Näistä operaatioista käytetään myös nimiä vektoriyhteenlasku ja skalaarilla kertominen, ts. kerroinkunnan alkiot ovat avaruuteen liittyviä skalaareja.

Lineaariavaruuden täytyy toteuttaa seuraavat ehdot. Olkoon $X$ , $Y$ ja $Z$ vektoreita sekä $a$ ja $b$ kerroinkunnan alkioita.

Vektoriyhteenlaskun kommutatiivisuus: Kaikilla $X, Y$ pätee $X + Y = Y + X$ .
Vektoriyhteenlaskun assosiatiivisuus: Kaikilla $X, Y, Z$ pätee $(X + Y) + Z = X + (Y + Z)$ .
Vektoriyhteenlaskun käänteisalkio: Kaikilla $X$ on olemassa $- X$ , joka toteuttaa ehdon $X + ( - X) = 0$ .
Vektoriyhteenlaskun nolla-alkio: Kaikilla $X$ pätee $X + 0 = 0 + X = X$
Skalaaritulon assosiatiivisuus: Kaikilla $a, b$ pätee $a (b X) = (a b) X$ .
Vektorisummien osittelulaki: Kaikilla $X, Y$ pätee $a (X + Y) = a X + a Y$ .
Skalaarisummien osittelulaki: Kaikilla $a, b$ pätee $(a + b) X = a X + b X$ .
Skalaaritulon identiteettialkio: Kaikilla $X$ pätee $1 X = X$ , missä $1$ on kunnan yksikköalkio.

Esimerkkejä lineaariavaruuksista ovat n-ulotteisiin Euklidisiin avaruuksiin liittyvät pisteiden koordinaattiesitykset. Tarkempana esimerkkinä tarkastellaan kolmiulotteista Euklidista avaruutta. Jokaista kolmiulotteisen Euklidisen avaruuden pistettä vastaa kolmiarvoinen reaalivektori, jossa on sen koordinaatit luonnollisen kannan suhteen. Valitsemalla kerroinkunnaksi $\mathbb R$ ja määrittelemällä vektorien yhteenlaskuksi vastaavien komponenttien yhteenlasku ja skalaarilla kertomiseksi jokaisen komponentin kertominen saadaan vektoriavaruus, jonka dimensio on kolme.

Toinen esimerkki lineaarisesta avaruudesta on funktioavaruus. Jollain välillä $I$ jatkuvat reaaliarvoiset funktiot voidaan valita avaruuden vektoreiksi. Yhteenlaskuksi käy funktioiden yhteenlasku ja kerroinkunnaksi voidaan valita $\mathbb R$ .

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../l/i/n/Lineaariavaruus.html

Luokat: Yhdistettävät artikkelit | Ryhmäteoria | Lineaarialgebra

Lineaariavaruus

Wikipedia

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä