Spaţiu vectorial
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Noţiunea de spaţiu vectorial, sau spaţiu liniar, este una fundamentală în algebra liniară.
Dacă luăm în considerare vectorii geometrici şi operaţiile care pot fi efectuate asupra lor, cum ar fi adunarea vectorială, înmulţirea cu scalari, cu unele constrângeri naturale cum ar fi închiderile acestor operaţii, asociativitatea lor, combinaţiile de operaţii, şi aşa mai departe, ajungem la descrierea unei structuri matematice pe care o numim spaţiu vectorial.
"Vectorii" pot să nu fie chiar vectori geometrici, ci pot fi orice obiect matematic care satisface următoarele axiome ale spaţiilor vectoriale. De exemplu, polinoamele de grad n cu coeficienţi reali formează un spaţiu vectorial. Fiind astfel abstracte, spaţiile vectoriale sunt foarte utile în multe arii ale matematicii moderne.
[modifică] Definiţie formală
O mulţime V (mulţimea vectorilor), împreună cu o mulţime K (corpul de scalari), o operaţie notată "+" (adunarea vectorilor) şi cu două operaţii "·" (înmulţirea cu scalari a vectorilor şi înmultirea scalarilor între ei), este spaţiu vectorial dacă îndeplineşte următoarele condiţii:
- (V,+) este grup comutativ
- (K,·) este corp comutativ
- înmulţirea cu scalari are urmatoarele proprietăţi:
- oricare ar fi a,b ∈ K şi x ∈ V, avem: (a·b)·x =a·(b·x)
- oricare ar fi x ∈ V,avem 1·x = x, unde 1 este elementul neutru la înmulţire din K.
- oricare ar fi a ∈ K şi x,y ∈ V , avem a·(x + y) = a·x + a·y
- oricare ar fi a,b ∈ K şi x ∈ V, avem (a + b)·x = a·x + b·x.
Un spaţiu vectorial normat şi complet se cheamă Spaţiu Banach.
