Linjärt rum

Wikipedia

[redigera] Definition

Ett linjärt rum, även lineärt rum eller vektorrum, är en mängd $L$ tillsammans med en kropp $F$ där addition ( $+$ ) och multiplikation ( $\cdot$ ) är definierade så att följande axiomsystem är uppfyllda för alla $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in L$ och $\lambda,\mu\in F$ .

I. Addition

$+ : L \times L \rightarrow L$

$(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$
$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}$
$\exist 0 \in L$ så att $\mathbf{0}+\mathbf{x}=\mathbf{x}$
$\forall \mathbf{x} \in L \ \exist \mathbf{y} \in L$ så att $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$

II. Skalärmultiplikation

$\cdot : F \times L \rightarrow L$

$\lambda\cdot(\mu\cdot\mathbf{x})=(\lambda\mu)\cdot\mathbf{x}$
$(\lambda+\mu)\cdot\mathbf{x}=\lambda\cdot\mathbf{x}+\mu\cdot\mathbf{x}$
$\lambda\cdot(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda\cdot\mathbf{x}+\lambda\cdot\mathbf{y}$
$1\cdot\mathbf{x}=\mathbf{x}$

Elementen i mängden $L$ kallas vektorer och elementen i mängden $F$ kallas skalärer.
Med ovanstående axiom kan man till exempel visa att

$0\cdot\mathbf{x}=\mathbf{0}$

$\lambda\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}$

Om $F=\mathbb{R}$ så kallas det linjära rummet reellt; om $F=\mathbb{C}$ så är det komplext. Man brukar även tala om dimensionen av ett linjärt rum vilket är kardinaliteten på en bas till rummet. En bas till ett linjärt rum är en delmängd av rummet sådan att varje vektor kan, på ett unikt sätt, skrivas som en linjärkombination av vektorer från basen. Vektorerna i en bas kallas även för basvektorer. Tex om $L = F$ blir dimensionen 1 men om $L=\mathbb{C}$ och $F=\mathbb{R}$ blir dimensionen 2. Varje linjärt rum med ändlig dimension n är isomorft med $F n$ där $F$ är kroppen.

[redigera] Exempel

Klicka på bilden för att läsa ett exempel

$\mathbb{R}^n$ som ett reellt linjärt rum där vektorerna är definerade som n-tiplar av reella tal.

Mängden av alla kontinuerliga funktioner $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ - en mängd som oftast betecknas C⁰ - är också ett linjärt rum, men med oändlig dimension.

[redigera] Se även

Linjär algebra

Delrum

Metriskt rum
- Normerat rum
  - Banachrum
  - Inre produktrum
    - Hilbertrum

Ämnen inom matematik relaterade till rummet:	Redigera
Topologi \| Geometri \| Trigonometri \| Algebraisk geometri \| Differentialgeometri \| Topologi \| Algebraisk topologi \| Linjär algebra \| Fraktal geometri \| Kompakt rum