Topologia (matematiikka)
Wikipedia
Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms.
Siinä, missä geometriassa tärkeitä ovat pituudet ja pinta-alat, geometrinen topologia kiinnittää huomiota lukumääriin: montako viivaa lähtee pisteestä? Mikä on kappaleen genus?
Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat, jos ne voidaan muuttaa toisikseen käyttämällä jatkuvaa kuvausta. Tästä anekdootti: "Topologi on matemaatikko, joka ei erota kahvikuppia munkkirinkilästä." (John Kelley, In N. Rose, Mathematical Maxims and Minims)
Tarkempana terminä topologia tarkoittaa topologisen avaruuden avoimien joukkojen kokoelmaa. Topologialta vaaditaan että
- Koko avaruuden perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen
- Topologian joukkojen mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat myös topologiaan
- Topologian joukkojen äärelliset leikkaukset kuuluvat myös topologiaan
Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden X topologiaan kuuluvat ainakin alkiot 
ja X. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttavat myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös X:n potenssijoukko on eräs X:n topologia, diskreetti topologia. Siten X:n indiskreettitopologia on aina X:n diskreetin topologian osajoukko. Yleisesti jos T1 ja T2 ovat joukon X kaksi topologiaa ja 
, sanotaan että T1 on karkeampi eli heikompi kuin T2. Vastaavasti topologia T2 on hienompi eli vahvempi kuin T1. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.
[muokkaa] Käsitteitä
- Avaruus
- Kompaktius
- Yhtenäisyys
- Polkuyhtenäisyys
- Jatkuva kuvaus
- Avoin joukko
- Suljettu joukko
- Homeomorfismi
- Lineaarikuvaus
- Piste
- Täydellisyys
- Algebrallinen topologia
