משפט סטוקס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. למשפט סטוקס חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים.

בהינתן יריעה דיפרנציאלית אוריינטבילית M ותבנית דיפרנציאלית $ω$ המוגדרת על M מתקיים:

$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\!\,$

כאשר $\ d\omega$ היא הנגזרת החיצונית של $\ \omega$ ו- $\ \partial M$ היא השפה של $\ M$ .

[עריכה] מקרים פרטיים

[עריכה] חוק סטוקס

במרחב הווקטורי $\mathbb{R}^3$ , ניתן לנסח את המשפט כך: $\oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {dl}=\iint_A (\vec \nabla \times \vec F)\cdot d\hat n$ , כאשר A היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל מסילתי של השדה על שפת A, והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך A. שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעתים בפי הפיזיקאים חוק סטוקס) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי.

[עריכה] משפט גאוס

מקרה פרטי שימושי נוסף ב־ $\mathbb{R}^3$ הוא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): $\iiint_V(\vec\nabla\cdot\vec F )dV=\iint_S\vec F\cdot d\hat n$ , כאשר V הוא נפח ב־ $\mathbb{R}^3$ , S היא המעטפת הכולאת אותו, ו־ $\ \hat n$ הוא וקטור נורמלי למשטח S. האגף הימני הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של F על הנפח V, ואגף שמאל הוא אינטגרל משטחי של השטף של F דרך S. גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס.