Erdős Pál

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

1 Életpályája
2 Fontosabb eredményei
3 Leghíresebb problémái
4 Élete évszámokban
5 Könyvei
6 Nevét viseli
7 Hivatkozások

Erdős Pál (1913. március 26., Budapest – 1996. szeptember 20., Varsó), a XX. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa, az MTA tagja.

[szerkesztés] Életpályája

A budapesti Szent István Gimnáziumban érettségizett. Elsősorban számelmélettel (ezen belül főleg elemi számelmélettel) és kombinatorikával, halmazelmélettel, analízissel és valószínűség-számítással foglalkozott, de a matematika szinte minden ágában alkotott. Számelméleti, illetve kombinatorikai kutatásaival ún. magyar iskolát teremtett. Életében ő volt a kombinatorika kutatásának és alkalmazásának talán legnagyobb egyénisége. Meghonosította a Ramsey-típusú jelenségek vizsgálatát és nagy úttörője volt a véletlen módszerek alkalmazásának. Zsenialitása nemcsak bizonyításaiban mutatkozott meg, hanem nagy problémafelvető is volt: művészi szintre fejlesztette a fontos problémák meglátásának képességét. Sokszor pénzdíjat tűzött ki ezekre, néhány dollárostól többezer dollárosig.

Élete utolsó évtizedeiben valamelyest híreséggé vált, nemcsak Magyarországon, de az egész világon is. Ebben nemcsak hatalmas életműve játszott szerepet, de sajátos, örökké utazó életformája is, valamint olyan, az újságírók számára hálás téma is, mint sajátos beszédmódja („Erdős-nyelv” v. „Erdős-szótár”): úr (nő), rab (férfi), epszilon (gyerek), a Jordan-tételt tanulmányozza (börtönben van), meghalt (abbahagyta a matematikai kutatást), szörny (kutya), méreg (alkohol). Élete végéig erős magyar akcentussal beszélte az angolt. Ver ar zö köpsz? – kérdezte nemegyszer, egy ismeretlen lakás konyhájában bóklászva. Nem véletlen, hogy egy indiai egyetem folyosóján, az előadóteremből kiszűrődő hang alapján Marx György felismerte, hogy egy magyar matematikus tart előadást.

Tagja volt a magyar (1956), az amerikai (1979), az indiai (1988), az angol (1989) és más tudományos akadémiáknak; munkásságáért több külföldi tudományos akadémia választotta tiszteletbeli tagjává. 1500 cikke jelent meg, több mint 500 társszerzővel dolgozott, 15 egyetemnek volt a díszdoktora. 1983-ban megkapta a legmagasabb nemzetközi elismerést, a Nobel-díjjal egyenértékű Wolf-díjat. Magyarországon Kossuth-díjjal és Állami Díjjal tüntették ki.

A matematikusok máig számon tartják (félig-meddig viccesen, félig-meddig Erdősnek emléket állítandó) az ún. Erdős-számokat, ami azt fejezi ki, hogy a publikálás által mennyire kerültek közel hozzá.

[szerkesztés] Fontosabb eredményei

[szerkesztés] Számelmélet

Elsőéves egyetemistaként egyszerű bizonyítást adott a Bertrand-posztulátumra: minden egynél nagyobb szám és kétszerese között van prímszám.
Atle Selberggel elemi bizonyítást adott a prímszámtételre.
Belátta, hogy van olyan $c < 1$ szám, hogy végtelen sok $p$ prímre $p' - p < c log p$ ahol $p'$ a következő prím.
A másik irányban belátta, hogy alkalmas $c > 0$ konstanssal van végtelen sok $p$ prím, hogy

$p'-p>c\frac{\log p \log\log p}{(\log\log\log p)^2}$ .

J. L. Selfridge-dzsel belátta, hogy egymásutáni számok szorzata sohasem teljes hatvány.
Bebizonyította, hogy $n\geq 2k$ , $k\ge 4$ esetén az ${n}\choose{k}$ binomiális együttható értéke nem lehet teljes hatvány.
A. Ginzburggal és A. Zivvel igazolta, hogy $2 n - 1$ egész szám közül mindig kiválasztható pontosan n, hogy az összegük osztható n-nel (Erdős–Ginzburg–Ziv-tétel).
Megmutatta, hogy minden monoton additív számelméleti függvény $c log n$ alakú.
Megválaszolta Szidon Simon kérdését: van természetes számoknak olyan sorozata, hogy minden egynél nagyobb n természetes szám előáll a sorozat két tagjának összegként, de legfeljebb $c log n$ -szer.
Bebizonyította, hogy a

$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2^n-1}$

sor összege irracionális szám.

Példát adott olyan, páratlan számokból álló végtelen sorozatra, melynek egyik tagja sem áll elő egy prímszám és egy 2-hatvány összegeként.
Bebizonyította, hogy ha az $a_1,a_2,\dots$ sorozat $α$ Snyírelman-sűrűsége szigorúan 0 és 1 közötti, a $b_1,b_2,\dots$ sorozatból K összegeként minden természetes szám előállítható, akkor az $a i + b j$ sorozat Snyírelman-sűrűsége $α$ -nál nagyobb, azaz minden bázis lényeges komponens.

[szerkesztés] Kombinatorika

Véletlen módszerrel bebizonyította minden n és s értékére n-kromatikus s kerületű (legrövidebb kör hossza) gráf létezését.

Az átlós Ramsey-számokra a $2^{\frac{n}{2}}<R(n,n)<4^n$ becslést adta.

$n\geq 2k$ esetén egy n-elemű halmaznak legfeljebb

${n-1}\choose{k-1}$

páronként metsző k-elemű részhalmaza adható meg (Erdős-Ko-Rado tétel)

Igazolta, hogy valós számok bármilyen ab+1 hosszúságú sorozata tartalmaz a+1 hosszú növő vagy b+1 hosszú csökkenő részsorozatot (Erdős-Szekeres-tétel)

Rényi Alfréddal és T. Sós Verával megmutatta, hogy ha egy véges gráfban bármely két csúcsnak pontosan egy közös szomszédja van, akkor van olyan csúcs, ami az összes többivel szomszédos (barátság-tétel).

[szerkesztés] Halmazelmélet

A. H. Stone-nal példát adott két olyan, valós egyenesen lévő Borel-halmazra, melyek pontonkénti összege nem Borel-halmaz.

Bebizonyította, hogy ha egy kontinuumnál nagyobb teljes gráf éleit megszámlálható sok színnel színezzük, akkor van megszámlálhatónál nagyobb egyszínű teljes részgráf.

Bebizonyította, hogy ha $κ$ szinguláris számosság akkor minden $κ$ számosságú gráf tartalmaz végtelen teljes vagy $κ$ számosságú üres részgráfot.

Hajnal Andrásssal megmutatta, hogy ha egy végtelen gráf nem tartalmaz négy hosszúságú kört, akkor megszámlálható sok színnel színezhető.

[szerkesztés] Analízis

Feller-rel és Pollard-ral megmutatta, hogy ha $P(x)= p_0+p_1x+\cdots$ , ahol $p_0,p_1,\dots\geq 0$ , $\sum p_n=1$ , $1/(1-P(x))=\sum u_nx^n$ , ami $m\geq 2$ -re nem hatványsora $x m$ -nek, akkor $u n$ konvergál $1/\sum k p_k$ -hoz.
W. H. J. Fuchs-szal igazolta, hogy ha $a_1,a_2,\dots$ természetes számok sorozata, akkor $a_i+a_j\leq x$ megoldásainak száma nem lehet $c x + o (x 1 / 4 / log x 1 / 2)$ ahol $c > 0$ . (Erdős-Fuchs tétel)

[szerkesztés] Egyéb

Belátta, hogy a racionális tagokból álló négyzetesen konvergens sorok metrikus tere egydimenziós, így a dimenzió nem mindig adódik össze topológikus terek szorzatánál.

[szerkesztés] Leghíresebb problémái

Ha az ABC háromszög belsejében levő P pont távolsága a csúcsoktól a,'b,'c, az oldalaktól x,'y,'z, akkor $a+b+c\geq 2(x+y+z)$ . (Erdős–Mordell-tétel)
Ha természetes számok egy sorozatának reciprokösszege divergens, akkor a sorozat tartalmaz tetszőleges hosszú számtani sorozatot.
Természetes számok minden pozitív felső sűrűségű sorozata tartalmaz tetszőlegesen hosszú számtani sorozatot. (Erdős-Turán sejtés, Szemerédi tétele)
Ha a kn pontból álló gráfban minden pont foka kisebb, mint k, akkor k színnel egyenletesen színezhető, tehát úgy, hogy minden színosztályban pontosan n pont van. (Hajnal-Szemerédi-tétel)
Ha egy gráf n darab, egymást páronként legfeljebb egy pontban metsző teljes n-es gráf uniója, akkor n színnel színezhető. (Erdős--Faber-Lovász-sejtés)
Ha egy végtelen gráfban a és b össze nem kötött pontok, akkor van a-t és b-t összekötő utak egy P rendszere és a-t és b-t elválasztó pontok egy S halmaza, hogy S minden pontja pontosan egy P-beli útra illeszkedik és minden P-beli út pontosan egy S-beli pontot tartalmaz (általánosított Menger-sejtés, 2007-ben igazolta Ron Aharoni és Eli Berger).

[szerkesztés] Élete évszámokban

1913. március 26., Budapest – szülei matematikatanárok
1930 – Budapesten egyetemi tanulmányok kezdete; a Pázmány Péter Tudományegyetem és a Műszaki Egyetem között ingázva folytatta tanulmányait, mindkét egyetem professzorainak (Fejér Lipót, Kürschák József, Kőnig Dénes) előadásait hallgatva.
1934 – doktorátus – Manchesterbe megy, ott 4 évet tölt
1938–39 – Princeton, Institute for Advanced Study
1943 – Purdue University
1948 – rövid látogatásra Magyarországra utazik
1949 – Atle Selberg és Erdős elemi bizonyítást adtak a prímszámtételre
1951 – Cole Prize (American Mathematical Society), számelméleti cikkei, de főleg a prímszámtétel elemi bizonyítása miatt
1952 – University of Notre Dame
1954 – a McCarthy-féle antikommunista kampány miatt kitiltják az USA-ból – 10 évet Európában, Izraelben és számos más helyen tölt
1963. november – megkapja a vízumot az USA-ba
1964. november – ettől kezdve édesanyja elkíséri utazásain
1971 – Szele Tibor-díj (Bolyai János Matematikai Társulat)
1971 – Anyuka meghal egy kanadai úton, Calgaryban. Ezt Erdős soha nem heveri ki.
1973 – a Londoni Matematikai Társaság tiszteletbeli tagjává választotta
1975 – vendégprofesszor a cambridge-i Trinity College-ban
1983 – Wolf-díj
1991 – Akadémiai Aranyérem (Magyar Tudományos Akadémia)
1996. szeptember 20., Varsó – szívroham

[szerkesztés] Könyvei

Erdős Pál, Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó, 1959. Második, bővített kiadás: Polygon, Szeged, 1996.
P. Erdős, J. Spencer: Probabilistic methods in combinatorics, Akadémiai Kiadó, Budapest, Academic Press, New York, 1974.
P. Erdős, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado: Combinatorial set theory: Partition relations for cardinals, Akadémiai Kiadó, Budapest, North-Holland, Amszterdam, 1984.