Szimmetria

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

1 Szimmetria a geometriában
2 Szimmetria a matematikában
3 Szimmetria a fizikában
- 3.1 Ábrázolások és szimmetria
- 3.2 Szimmetriasértés
4 Szimmetria a művészetben és a kézművességben
5 Szimmetria az irodalomban
6 Szimmetria a távközlésben
7 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Szimmetria a geometriában

[szerkesztés] Szimmetria a matematikában

Szimmetria

(gör.), eredetileg a. m. egyenlő mérték, részarány. – Sz. a rajzoló művészetben, l. Arány; a kristálytanban, l. Kristály; a geometriában: Két alakzat v. egy alakzat két része egymással egy C pontra vonatkozólag szimmetrikus, ha pontjaik ugy vonatkoztathatók egymásra, hogy bármely két megfelelő pont által meghatározott egyenes vonaldarab felező pontja C-be esik. Két alakzat egy s egyenesre vonatkozólag szimmetrikus, ha bármely két megfelelő pont által meghatározott egyenes vonaldarab párhuzamos egy állandó ĺ síkkal és s által feleztetik. Két alakzat egy ĺ síkra vonatkozólag szimmetrikus, ha bármely két megfelelő pont által meghatározott egyenes vonaldarab párhuzamos egy állandó s egyenessel és ĺ által feleztetik. A Sz. derékszögü, ha s és ĺ egymásra merőlegesek.

[szerkesztés] Szimmetria a fizikában

A matematika úgy általánosította a szimmetriát, hogy az invarianciát jelent egy tetszőleges transzformációval szemben. Ennek az általános szimmetriafogalomnak az alkalmazása gyümölcsözőnek bizonyult a fizikában is. Ezzel az elméleti fizika leghatásosabb eszközévé vált. A Noether-tétel értelmében minden szimmetriához (szimmetriatranszformációval szembeni invarianciához) egy megmaradó mennyiség tartozik:

az időbeli eltoláshoz az energiamegmaradás
a térbeli eltoláshoz az impulzusmegmaradás
a térbeli forgatáshoz az impulzusmomentummegmaradás
a belső szimmetriákhoz a különféle töltésmegmaradások

A szimmetriatranszformációkat a csoportelmélet tárgyalja, ami a fizikusok által egyik leggyakrabban tanulmányozott matematikai tudományág.

[szerkesztés] Ábrázolások és szimmetria

Az ábrázolás-elmélet fizikai alaptétele szerint minden fizikai mennyiség a rendszer szimmetriacsoportja egyik ábrázolása szerint transzformálódik (nagyon fontos: ez egy tapasztalati törvény, mint minden fizikai alaptétel). Ezért nagyon fontos megismerni világunk szimmetriáit és szimmetricsoportjait, mert így tudjuk eldönteni, hogy milyen fizikai mennyiségek létezhetnek. A triviális ábrázolás szerint transzformálódó mennyiségeket skalárnak hívjuk, az önábrázolás (ha van) szerint transzformálódó mennyiségeket vektornak.

A tapasztalat szerint az SO(3) (a 3 dimenziós tér elforgatásainak csoportja) például szimmetriája világunknak, azaz egyszerűen fogalmazva, ha másik irányból nézem a világot, akkor törvényei nem változnak meg. Az ehhez a szimmetriacsoporthoz tartozó vektorokat szokták a hagyományos értelemben vektoroknak nevezni.

[szerkesztés] Szimmetriasértés

Egy gömb bármely a középpontján áthaladó egyenesre vonatkozóan forgásszimmetriával rendelkezik. Ha kiválasztunk egy ilyen egyenest (forgástengelyt) és azzal párhuzamosan a gömböt kissé összenyomjuk és az lapult lesz, akkor a többi egyenesre vonatkozóan elveszíti a forgásszimmetriáját. Azt mondjuk, hogy ezekre vonatkozóan a forgásszimmetria sérül. Az égitestek a forgásuk miatt általában ilyen lapult gömbök, amelyek a forgástengelyükre vonatkozóan – szintén csak közelítőleg – forgásszimmetrikusak.

Gondoljunk ugyanis a Földre pl. aminek domborzata (hegyek, tengeri árkok) elrontják a forgásszimmetriát. Ez a sérülés mindenesetre kicsi, általában nem kell számolni vele, ha mondjuk a Föld és a Hold, vagy mesterséges égitestek Föld körüli mozgását akarjuk számolni. Általában tekinthetjük a Földet forgásszimmetrikusnak. ha viszon egy műhold közel és sokáig kering a Földhöz Föld körüli pályáján, akkor már fontossá válnak a földfelszín egyenetlenségei, azokat figyelembe kell venni a pályakorrekciók számításakor.

A szimmetriasértés hatása sokszor így jelentkezik a fizikában. Először egy közelítő szimmetriát egzaktnak tekintve elvégezzük a számításokat, majd figyelembe vesszük a szimmetria sérülése miatti hatásokat a korrekciók kiszámítására, pl. perturbációszámítással. Az előző példában a Föld domborzata miatt a szimmetriasértésnek jól látható, nyilvánvaló oka volt, az anyageloszlás nem volt forgásszimmetrikus. Az ilyen szimmetriasértés explicit szimmetriasértésnek nevezzük.

Vegyük egy másik mechanikai példát. Fogjunk be egy rudat a két vége között két satupofa közé. Ekkor ez a rendszer forgásszimmetrikus a rúd hossztengelyére vonatkozóan. Kezdjük el összenyomni a rudat hosszában,- a nyomóerő is forgásszimmterikus, hiszen hossztengely irányú. Ahogy a nyomóerő növekszik, a rúd kicsit összenyomódik, de az egész rendszer forgásszimmetrikus marad. Ha tovább növeljük a nyomóerőt, egy ponton túl a rúd ki fog hasasodni oldalirányban és a rendszer elveszíti a forgásszimmetriáját. Egy teljesen szimmetrikus elrendezés, és erők esetén tehát mégis sérült a forgásszimmetria. Az ilyen sértést spontán szimmetrisértésnek nevezzük.

A spontán szimmetriasértés kulcsszerepet játszik a részecskefizikában és a kozmológiában.