Vigur (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Vigur AB í hnitakerfinu

Vigur (eða vektor) er stærðfræðilegt hugtak sem hefur stærð og stefnu. Vigur er oft táknaður sem færsla á milli tveggja punkta, þá gjarnan í hnitakerfi eða á talnalínu. Færsla eftir talnalínu frá punkti $x 1$ til $x 2$ er $d = x 1 - x 2$ , þ.e. mismunurinn milli punktanna tveggja. Færsla í hnitakerfi er samskonar, nema eftir fleiri svigrúmsvíddum, eða ásum eins og þær eru betur þekktar. Dæmi um tilfærslu í tvívíðu hnitakerfi er:

$\overline {AB} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix}$

$d x$ og $d y$ eru skilgreind sem hnit vigursins. Vigurinn getur verið hvar sem er í hnitakerfinu, svo lengi sem hann er ekki staðarvigur, og svo lengi sem hann hefur hallatölu: $\frac {d_y}{d_x}$ .

Vigurinn $\overline {AB}$ , frá $\bold A = (x_1, y_1)$ til $\bold B = (x_2, y_2)$ er hægt að rita:

d x = x 2 - x 1

d y = y 2 - y 1

A kallast upphafspunktur vigursins en B endapunktur.

[breyta] Skilgreiningar

Vigur $\overline x$ í $\mathbb{R}^n$ er röðuð n-nd $x = (x 1, x 2,..., x n)$ af rauntölum. Vigurinn hefur n víddir. Vigrar eru gjarnan skrifaðar yfirstrikaðar, undirstrikaðar eða feitletraðar til þess að aðgreina þær ótvírætt frá öðrum breytistærðum. Aðgát skal höfð þegar yfirstrikun er notuð, því að hún er einnig notuð til þess að tákna tvinntölur. Hér verða rithættirnir þrír notaðir á mis til þess að leggja áherslu á að þær eru jafn mikið notaðar í raunveruleikanum.

[breyta] Núllvigur

Vigur sem hefur öll stök núll, t.d. $\overline {AA}$ eða $\overline{0} = (0,0,...,0)$ kallast núllvigur, og er ritaður $\bold 0$ eða $\overline O$ . Núllvigur hefur enga stefnu og stærðina núll því $\sqrt{\sum_{n=1} x_n^2} = 0$ (sjá Pýþagórasarregluna) og er samkvæmt skilgreiningu samlagningarhlutleysa.

$\overline {AA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

[breyta] Stærð vigra

Stærð, einnig nefnd lengd vigra er fundin með Pýþagórasarreglunni þannig að fyrir fyrir tvívíða vigurinn

$\overline {AB} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ er lengdin $\sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Vigur með stærðina 1 nefnist einingavigur. Einingavigur má gera úr hvaða vigri sem er með því að deila honum með stærð sinni.

$\underline{e_x} = \frac{\underline{x}}{|\underline{x}|}$

[breyta] Samlagning vigra

Samlagning vigra

Summa vigra fæst með því að leggja saman x-hnit og y-hnit vigrana. Samlagninguna er hægt að tákna myndrænt (sbr. rauður vigur á mynd til hægri) með því að gera vigur AC, og er því AB + BC = AC ( þar sem; a = AB, b = BC og a + b = AC ).

$\bold {a} + \bold {b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)$

Frádráttur vigra virkar á sama hátt:

$\bold {a} - \bold {b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, ..., a_n-b_n)$

[breyta] Innfeldi vigra

Innfeldi er rauntala sem rituð er með punkti og þess vegna stundum kallað depilmargfeldi. Innfeldi tveggja vigra $\overline a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ og $\overline b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ , er reiknað: $\overline a \cdot \overline b = a_1b_1 + a_2b_2$

[breyta] Margfeldi vigurs með tölu

Margfeldi vigurs a við tölu

Margföldun við rauntölu lengir eða styttir vigurinn. Tölur á bilinu $[1, \inf[$ lengja vigurinn, talan 1 er margföldunarhlutleysa, tölur á bilinu $[0,1]$ stytta vigurinn og margfeldi við töluna 0 gerir vigurinn að núllvigri. Neikvæðar tölur hafa sömu áhrif, nema láta vigurinn ennfremur breyta um formerki, og þar með um stefnu.

$r \in \mathbb{R}, \bold{v} \in \mathbb{R}^n$ (r er stak í mengi rauntalna, v er rauntöluvigur í n víddum).

$r\bold{v} = (rv_1, rv_2, ..., rv_n)$

[breyta] Reiknireglur

Látum x, y og z vera vigra í $\mathbb{R}^n$ . Látum a og b vera rauntölur. Reiknireglur vigra eru þá:

x + y = y + x

(víxlregla)

(x + y) + z = x + (y + z)

(tengiregla)

x + ( - x) = 0

(samlagningarandhverfa)

0 + x = x

(núllvigurinn er samlagningarhlutleysa)

r (x + y) = r x + r y

(dreifiregla)

r (s x) = r s (x)

(tengiregla)

$x \cdot y = y \cdot x$ (víxlregla)

$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ (dreifiregla)

$r(x \cdot y) = (rx) \cdot y = x \cdot (ry)$ (tengiregla)

[breyta] Bundnir eða frjálsir vigrar

Vigrar eru almennt bundnir eða frjálsir. Frjáls vigur er óháður upphafspunkti sínum og breytist ekki við færslu. Bundin vigur er aftur skorðaður við upphafspunkt eða línu og er talað um punktbundin eða línubundin vigur.

Greinar í stærðfræði tengdar línulegri algebru