Vektor (matematik)
Wikipedia
Vektorer avser oftast det som används bl.a. i fysiken för att räkna med exempelvis krafter, hastigheter och acceleration, det vill säga storheter som har både längd (magnitud) och riktning. Sådana vektorer kan även kallas rumsvektorer eller geometriska vektorer.
Inom matematiken kan vektorer generaliseras till att vara element i ett vektorrum. Då bortser man från de geometriska egenskaperna längd och riktning. Med denna definition anses många typer av objekt vara vektorer. Det enda kravet är att de följer alla de räknelagar som gäller för rumsvektorer.
Innehåll |
[redigera] Definition och skrivsätt
En vektor är ett matematiskt objekt som karaktäriseras av att det har både längd och riktning. En vektor kan skrivas som en linjärkombination av komponenter, som multiplicerade med sin respektive enhetsvektor blir komposanter. En vektor skrivs ofta genom att man skriver namnet på vektorn och ritar en pil eller ett streck över namnet. (I tryck är det också vanligt att man skriver vektorer med fet stil.)
eller 
[redigera] Vektorer i det reella tvådimensionella planet R2
En vektor har som sagt både längd och riktning. Detta kan anges på två olika sätt. Om man till exempel har en vektor med längden 5 och en riktning som lutar 45 grader i förhållande till x-axeln så skriver man:
Men när man ska räkna med flera vektorer samtidigt är denna notation opraktisk. Det finns därför en annan notation, kallad matrisform. Här uppfattar man vektorn som hypotenusan i en rätvinklig triangel och anger hur långt den når i x-axelns riktning och hur långt den når i y-axelns riktning.
Detta kan också skrivas som en radvektor istället för en kolumnvektor:
Om man har en vektor som skrivits med vinkel och längd och vill skriva om den på matris-form gör man så här:
[redigera] Addition av vektorer
När man lägger ihop två vektorer (till exempel för att beräkna två samverkande krafters totala resulterande kraft) får man en ny vektor, den så kallade summa-vektorn. Om man har de två vektorerna:
kan man beräkna summan 
av dem på följande sätt:
Om man har tre eller flera vektorer kan man lägga samman dem efter samma princip (x-koordinaterna summeras för sig och y-koordinaterna summeras för sig).
[redigera] Subtraktion av vektorer
Vektorer dras ifrån varandra efter samma princip som man lägger samman dem. Dock uppfattar man vektorers differens som:
Att man skriver 
betyder helt enkelt att vektorn vänds och alltså riktas åt motsatt håll. Det uppfattas också som:
Men detta görs endast grafiskt. Analytiskt drar man vektorer från varandra genom att säga:
[redigera] Multiplikation av vektorer
Det finns två olika operatorer som vanligen används för att erhålla en vektorprodukt; skalärprodukt och kryssprodukt. Skalärprodukten är en skalär, dvs en vektor i det endimensionella rummet och kryssprodukten är en vektor, ortogonal till termerna i kryssprodukten.
[redigera] Division av vektorer
Någon operator som skulle kunna sägas dividera två vektorer finns inte. Detta beror på att vektorer kan ses som icke-kvadratiska matriser: för sådana existerar ingen multiplikativ invers.
[redigera] Skalning av en vektor
När man vill ändra en vektors längd multiplicerar man x-koordinaten och y-koordinaten med skalfaktorn. Formeln är:
[redigera] Vektorers längd
När man har skrivit en vektor i matris-form finns ett ganska lätt sätt att beräkna dess längd. Eftersom man kan uppfatta en vektor som en rätvinklig triangel kan man använda Pythagoras sats. En vektors längd skrivs alltså som:
Formeln för vektorns längd är då:
[redigera] Vektorer i R3
Om vektorrummet är tredimensionellt, dvs. om man har tre riktningar x,y,z, så har vektorerna också tre komponenter. Det tvådimensionella planet R2 kan ses som ett plan i R3 som man får genom att sätta z-komponenten till 0. De flesta formler ovan ändras då på det förväntade sättet. Till exempel skriver man
och längden av denna vektor beräknas som
[redigera] Vektorvärda storheter
Många fysikaliska storheter uttrycks som vektorer. Dit hör bl a hastighet, acceleration, rörelsemängd, magnetfält och elektriskt fält.
