Insegnamento della matematica in Italia
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[modifica] Dall'unità d'Italia alla prima guerra mondiale
Nel 1867 si vollero introdurre nell’allora ginnasio superiore lo studio della "geometria razionale" e gli Elementi di Euclide come libro di testo di geometria; non si pensò che la sistemazione logica euclidea doveva costituire il punto d’arrivo e non il punto di partenza dello studio della geometria.
[modifica] La riforma Gentile
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[modifica] Dopo la seconda guerra mondiale
Vediamo quali furono i principali progetti di riforma per la Scuola italiana dal 1945:
1945 Programmi dei governi alleati per la Scuola media, i Licei e gli Istituti magistrali
Vi fu un’inversione di tendenza rispetto alla Riforma Bottai del 1940: nella Scuola media i riferimenti di carattere storico diventano opzionali ed il programma acquista un taglio pratico sperimentale. I programmi per i Licei, invece, non presentano particolari novità e così pure i programmi per il ginnasio, i cui contenuti sono sostanzialmente quelli della Riforma Gentile. Ciò che muta nel ginnasio è l’adozione di una impostazione metodologica che conduca gradualmente i giovani alla piena consapevolezza dei concetti e delle proprietà. C.M.n.155/45
C’è comunque da rimarcare il fatto che le buone indicazioni metodologiche non trovano ampio consenso, né tra i docenti, né nei libri di testo.
1946 Programmi per gli Istituti Tecnici
1952 Proposta di Riforma Gonella; Programmi della Consulta Didattica
La Riforma prevedeva un ciclo medio triennale (con tre indirizzi: Classico, Tecnico, Normale) a seguito della Scuola elementare. Ai fini dell’elaborazione del Programma, fu costituita dal Ministero una Consulta Didattica, coordinata da Attilo Frajese. La Consulta stilò un programma secondo il quale "sarebbe opportuno evitare nelle prime classi del liceo l’introduzione di una sfilza di postulati, partendo invece da proprietà evidenti per avviare il processo dimostrativo. Inoltre la Consulta propose un’apertura verso le nuove correnti matematiche che stavano girando in Europa da circa dieci anni, affermano che sarebbe stato opportuno condurre lo studente alla rielaborazione critico-storica di qualche argomento precedentemente trattato, come saggio esemplificativo del processo ipotetico-deduttivo e del valore di rigore della matematica".
Lo spirito innovativo che traspare dai programmi liceali e che vede la matematica come disciplina eminentemente formativa, viene meno nei programmi di Attilio Frajese per gli Istituti Tecnici, nei quali la matematica assume una valenza fortemente strumentale e subordinata alle materie professionali d’indirizzo.
1955 Programmi della Scuola Elementare
[modifica] L'influenza bourbakista
L’ondata bourbakista che ha travolto negli anni 1950 il mondo accademico e la Scuola Secondaria ha portato un cambiamento radicale di impostazione metodologica e di contenuti della didattica. Ciò può essere ad esempio verificato andando ad analizzare la variazione subita nel periodo dai programmi ministeriali e le conseguenti polemiche apparse su numerose riviste di settore.
[modifica] Programmi ministeriali
L’avvento di una matematica chiaramente "useless for teaching and for applications " e la distorta morale che da esse discese ebbe un effetto devastante nella Scuola secondaria italiana che, con una serie interminabile di ciclopiche riforme cercò di imporla senza vagliare attentamente gli enormi problemi che una tale scelta comportava. Si ricadde in un errore già commesso circa cento anni prima con l'imposizione della geometria euclidea e degli Elementi di Euclide come libro di testo.
Anche l'introduzione delle matematiche moderne, seppur necessaria, fu sicuramente forzata e non sostenuta da un adeguato aggiornamento degli insegnanti di matematica della Scuola secondaria.
1959 Convegno Organizzazione Europea di Cooperazione Economica (OECE) a Royaumont; conferenza di Jean Dieudonné: “A bas Euclid”
Gli anni ’60 si aprirono con vivaci dibattiti sull’insegnamento della matematica. Legittimamente ci si chiede come gli sconvolgimenti che la matematica ha vissuto negli ultimi cinquant’anni, con la rapida transizione da una visione euclideo-kantiana ad una nuovo assetto assiomatico di matrice hilbertiano-bourbakista, debbano modificarne l’insegnamento. Nel 1959 a Royaumont, nei pressi di Parigi, si tiene un Convegno promosso dall’OECE, dal titolo “le nuove matematiche”, con il preciso obiettivo di fare il punto sull’attuale situazione dell’insegnamento della matematica nella Scuola Secondaria. Durante una delle conferenze, Jean Dieudonné, uno dei fondatori di Bourbaki, lanciò il grido “A bas Euclid”, a voler significare l’inattualità della geometria greca ma, più in generale, di tutto l’insegnamento tradizionale.
1960 Commissione di Dubrovnik (Ragusa) e Programmi
Conseguenza diretta del Convegno parigino fu la costituzione di una Commissione incaricata di riscrivere i programmi per l’introduzione delle nuove matematiche, epurate dall’eredità ellenica, nei cicli della Scuola secondaria. Nel documento sono sottolineati l’unitarietà ed il superamento di una visione separata dell’algebra e della geometria.
1961 Convegno UMI-CIIM a Bologna; istituzione ministeriale di Classi Pilota; Programmi Bosco per gli Istituti Tecnici
Costituisce la riposta italiana alle proposte di Dubrovnik (Ragusa). Viene sottolineata l’importanza di un aggiornamento dell’insegnamento della matematica. I partecipanti vengono invitati a stilare proposte che tengano presente il carattere di unitarietà che la disciplina ha assunto.
1963 Riforma Gui della Scuola media
1962-1964 Incontri di Gardone e Camaiore
Vengono proposti programmi fortemente influenzati da una visione bourbakista della matematica. In particolare, nella premessa ai programmi proposti a Lido di Camaiore viene rilevata sia l’urgenza di mettere a disposizione degli insegnanti i necessari strumenti bibliografici, sia la necessità di organizzare corsi di aggiornamento da estendersi quanto più possibile alla totalità dei docenti liceali. I partecipanti al Convegno, dopo ampia discussione , si sono trovati concordi sul rilevare:
- la funzione formativa della scuola liceale;
- la necessità nella scuola liceale di un opportuno equilibrio delle discipline letterarie, artistiche, storiche, filosofiche, scientifiche (matematiche e sperimentali);
- l’esigenza che tutte le discipline siano presenti nella scuola liceale come discipline formative e ordinate alla successiva specializzazione universitaria e non come strumento per la sola preparazione tecnica e professionale;
- l’esigenza che la scuola liceale dia accesso a tutte le facoltà universitarie;
- l’esigenza di una adeguazione dei contenuti e dei metodi attraverso un rinnovamento aperto al progresso scientifico e culturale, pedagogico e didattico.
1966-1967 Programmi di Frascati (proposte)
Ai due Convegni di Frascati, promossi dall’UMI-CIIM , parteciparono numerosi docenti universitari impegnati nella ricerca didattica e docenti di Scuola secondaria appositamente invitati. Al termine dei convegni furono formulati due programmi, uno per il Biennio (1966) ed uno per il Triennio dei licei (1967).
I programmi fanno riferimento a due finalità:
- formare la mente del giovane introducendolo alla riflessione e al ragionamento matematico
- fornirgli alcuni semplici, ma fondamentali strumenti di comprensione e di indagine.
Il programma formulato per il biennio liceale è il seguente:
I Anno
a) Nozioni elementari sugli insiemi e sulle corrispondenze. - richiami sui naturali - quozienti - resto - divisibilità - algoritmo euclideo e numeri primi. - riesame comparativo delle operazioni con numeri interi (relativi) e razionali ed enunciazione delle relative proprietà formali. - espressioni letterali ed eguaglianze notevoli fra numeri rappresentabili da esse. Esercitazioni non complicate, nelle quali i numeri siano rappresentati anche da lettere, per richiamare l’aritmetica già studiata e abituare a semplificare le operazioni razionali. - ordinamento dei numeri interi e razionali - valori assoluti - proprietà formali delle diseguaglianze - classi di resto modulo m. partizione di un insieme e relazioni di equivalenza.
b) Il piano come insieme di punti e le rette come suoi sottoinsiemi: incidenza e parallelismo, direzione. - proprietà di ordinamento della retta e partizione del piano. Segmenti, figure convesse: angoli e poligoni.
II Anno:
a) Introduzione intuitiva dei numeri reali, enunciazione delle relative proprietà. - i polinomi (in una variabile, introdotti come funzione). Enunciato del principio di identità dei polinomi - operazioni con polinomi - algoritmo euclideo della divisione fra polinomi - il caso del divisore di primo grado; il teorema di Ruffini e le sue conseguenze. - generalità sulle equazioni - equazioni di primo grado in un'incognita - problemi relativi - frazioni razionali fratte. - coordinate cartesiane sulla retta e sul piano - applicazioni - diagrammi di semplici funzioni. - illustrazione su esempi tratti dalle teorie svolte di qualche struttura significativa come quelle di anello, gruppo, corpo ed eventuale reticolo, spazio metrico.
b) Congruenze (oppure isometrie) - confronto di segmenti - perpendicolarità - traslazioni, rotazioni e simmetrie - applicazioni ai segmenti, agli angoli, ai triangoli e ai poligoni - circonferenza e cerchio - poligoni regolari - teorema di Talete e teorema di Pitagora.
Il programma minimo di matematica per il triennio liceale stabilito a Villa Falconieri è il seguente:
III Anno
Il piano vettoriale geometrico: combinazioni lineari, coordinate, traslazioni. Sistemi di equazioni lineari in due incognite. Equazione cartesiana della retta, sistema di due rette. I radicali e le potenze con esponente razionale. Equazioni di secondo grado sopra il corpo reale. Numeri complessi. Prodotto scalare. Elementi di trigonometria (seno, coseno, tangente. Teorema di addizione; teorema di Carnot, teorema dei seni). Gruppo delle congruenze e delle similitudini del piano.
IV Anno
Equazione cartesiana della circonferenza, dell’ellisse, dell’iperbole e della parabola. Generalità sulle funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone e loro inverse. Funzione esponenziale e logaritmica. Progressioni aritmetiche e geometriche. Lo spazio come insieme di punti. Le rette e i piani come suoi sottoinsiemi. Incidenza e parallelismo. Semispazi. Spazio vettoriale geometrico. Estensione allo spazio del prodotto scalare. Perpendicolarità. Distanze. Angoli di rette e piani. Limiti, continuità, derivate. Area delle figure piane: poligoni, cerchio. Lunghezza della circonferenza.
V Anno
Solidi elementari e loro principali proprietà. Integrale definito. Primitiva di una funzione. Volumi di solidi elementari. Aree delle superfici di rotazione. Spazio vettoriale astratto. Suoi modelli e applicazioni. Calcolo combinatorio. Elementi di calcolo delle probabilità e semplici applicazioni alla statistica, alla teoria degli errori, ecc... Ripensamenti e complementi.
Ripensamenti e complementi (a titolo esemplificativo)
Geometrie non euclidee con riferimenti storico-critici sullo sviluppo del pensiero matematico. Ampliamento proiettivo dello spazio affine o euclideo e proprietà grafiche fondamentali. Proprietà elementari delle coniche. Introduzione alla logica matematica. Algebra di Boole. Qualche tratto dell’evoluzione storica del pensiero matematico. Cenni di teoria dei numeri. Varie forme di costruzione dei numeri reali. Fondamenti della geometria. Elementi di calcolo numerico. Elementi di topologia con applicazioni alle matematiche elementari. Elementi di geometria analitica dello spazio. Elementi di teoria dei gruppi. Le trasformazioni elementari e i loro gruppi. Sistemi di equazioni lineari. Elementi della teoria dei giochi. Aspetti algebrici dei problemi risolubili con riga e compasso. Fondamenti della cinematica classica e della cinematica relativistica Equazioni di terzo grado ed equazioni di quarto grado. Ricerca operativa. Programmazione lineare.
[modifica] Alcune polemiche
In Italia i risultati raggiunti a Royaumont e a Dubrovnik (Ragusa) (v. sopra) non lasciarono indifferenti gli insegnanti della Scuola secondaria. Da subito si intuì la necessità di prestare particolare attenzione per evitare che la matematica moderna non si presentasse come un capitolo nuovo riservato ad alcuni specialisti, ma come una concezione nuova di tutto l’edificio matematico. E, in attesa dei programmi ufficiali, ci si rese conto della necessità che ogni professore, fin da subito, cercasse di completare le sue conoscenze, riflettesse sui problemi pedagogici che pone l’insegnamento degli elementi della matematica moderna, si compenetrasse della loro estrema importanza e apportasse la sua collaborazione alla ricerca delle soluzioni.
Da questo momento in poi nella Scuola italiana è il caos. Del fatto che le “matematiche moderne” generassero nella Scuola italiana uno scompiglio senza precedenti, ci si rende conto immediatamente sfogliando le riviste dedicate all didattica della matematica del tempo. Ad esempio, tra il 1965 ed il 1967 sulla rivista Archimede, si possono trovare interminabili serie di articoli che mettono a nudo il disagio degli insegnanti italiani nei confronti di una matematica che non hanno i mezzi per concepire e che provano imbarazzo nel cercare di trasmettere durante le lezioni. È significativa una lettera di un gruppo di insegnanti torinesi, pubblicata da questa rivista sul numero di marzo-giugno del 1965, in cui si legge: "[...] dopo aver meditato a lungo su tale programma [programma per l’insegnamento della matematica nel primo biennio dei licei proposto negli incontri di Camaiore poiché è nostro fermo intendimento di prepararci seriamente all’insegnamento di domani, dobbiamo tristemente concludere che non comprendiamo parecchi punti di esso, benché non solo da ieri ci occupiamo di matematica moderna. [...].Noi ammettiamo che non si possono chiudere gli occhi e le orecchie di fronte all’algebra moderna, che, effettivamente, mediante essa si riesce meglio ad impadronirsi di taluni concetti che prima restavano sempre definiti in modo insoddisfacente[...] ma non comprendiamo perché in una scuola secondaria occorra fare una trattazione così rivoluzionaria che ha senso solo nei corsi universitari specifici per matematici [...]"
E solo qualche pagina dopo si legge: "Nel Seminario matematico internazionale di Villa Falconieri (Frascati) nell’ottobre del 1964, particolarmente il prof. Behnke ha esplicitamente riconosciuto che in tutti i paesi interessati “un certo numero di professori - soprattutto i più anziani - non vogliono cambiare i loro metodi di insegnamento”. Io direi che, non solo quel certo numero costituisce la maggioranza, ma che allo stato attuale delle cose “non vogliono perché non possono cambiare i loro metodi”. È la loro preparazione che non lo consente, e gli illustri docenti universitari che hanno partecipato alla “tavola rotonda” lo sanno".
La situazione era aggravata dalla mancanza di manuali che fornissero le linee guida agli insegnanti. Effettivamente in quegli anni, ad esclusione di testi specifici di algebra astratta come quello di Lucio Lombardo Radice " Istituzioni di algebra astratta"(1965) e quello di Tullio Viola " Introduzione alla teoria degli insiemi" (1965), nel panorama editoriale italiano non si intravvedeva altro.
L’unico testo dedicato all’insegnamento nella Scuola secondaria appositamente redatto per le Classi Pilota, è quello di Armando Chiellini "La matematica moderna nell’insegnamento secondario" (1965). Bisogna però sottolineare che già nel 1963 è pubblicato, a cura del Ministero della Pubblica Istruzione e dell’OECE, il testo "Per un insegnamento moderno della matematica" , destinato alle Classi Pilota. Tuttavia tale testo, così come le relazioni dei docenti delle Classi Pilota e i risultati della sperimentazione, non viene diffuso in tutte le scuole e quindi non può in alcun modo contribuire a sensibilizzare verso la matematica moderna coloro, e che sono la maggioranza, che non hanno insegnato in una classe pilota. Questo scompiglio investe anche la Scuola media inferiore, che vede spesso impiegati insegnanti sprovvisti di una cultura matematica specifica e che, quindi, a maggior ragione non possiedono i mezzi per aggiornare il proprio bagaglio di conoscenze . In quegli anni, per ovviare a questi problemi, fioriscono anche una nutrita serie di progetti di nuovi corsi di laurea per preparare docenti qualificati all’insegnamento della matematica e delle osservazioni scientifiche nella Scuola media (ad esempio, il progetto Morin e il progetto Prodi ). Per capire come sia mutato in quegli anni l’insegnamento della matematica nella scuola media inferiore, è sufficiente sfogliare l’indice di un libro per la terza media degli anni 1960.
Ad esempio nel volume terzo del testo "Algebra, corso di matematica per la Scuola Media" di Vincenzo Marseguerra (1967), accanto ad argomenti usuali (insieme dei numeri razionali relativi, le operazioni fondamentali, i problemi e le equazioni di primo grado ad una incognita, la rappresentazione di funzioni, il diagramma) trovano ampio spazio argomenti dal sapore prettamente bourbakista come
- le trasformazioni geometriche
- i movimenti e le uguaglianze
- l’affinità e la similitudine
- le strutture algebriche sull’insieme dei numeri relativi
- le strutture algebriche sull’insieme dei numeri pari e dei numeri dispari
- le strutture algebriche sull’insieme dei giorni della settimana
- strutture algebriche degli insiemi di Boole
- un aspetto delle matematiche moderne
In particolare, in quest’ultimo capitolo si legge: "tale metodo di studio di una struttura, non solo generalizza ma porta a stabilire legami unitari fra i vari rami della matematica, offrendo la possibilità di dare interpretazioni diverse alle proposizioni specificando la natura degli elementi".
Queste parole non possono che rimandare all’introduzione degli Elementi di Bourbaki. E non è un caso.
Infatti l’autore di questo testo faceva parte in quegli anni, insieme a Ludovico Geymonat, Attilio Frajese, Francesco Severi, Aldo Chiellini e altri, della redazione della rivista di matematica Archimede che, oltre a raccogliere le proteste degli insegnanti di fronte al caos delle riforme, usciva ogni due mesi con articoli di forte impronta bourbakista di matematici più o meno noti o di semplici insegnanti di Scuola secondaria.
[modifica] La posizione della Scuola Normale Superiore di Pisa
La matematica bourbakista sicuramente non può non aver lasciato tracce in una in una istituzione così prestigiosa e ricettiva nei confronti delle avanguardie della ricerca scientifica ma è fuori dubbio che tali tracce non siano rintracciabili nelle prove che di anno in anno hanno selezionato gli aspiranti normalisti. Al massimo, scorrendo i temi di ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa, si possono rintracciare cenni vaghi ai complementi e ripensamenti proposti nei convegni di Frascati.
Si può ritenere che alla Normale fu chiara la distinzione tra Bourbaki e bourbakisti, distinzione necessaria tanto quanto la distinzione tra Aristotele e gli aristotelici dell’ipse dixit che si rifiutavano di guardare nel cannocchiale di Galileo.
[modifica] Dal Piano Nazionale per l'Informatica alle ultime riforme
1966-1972 Ingresso dell’Informatica nell’istruzione Tecnica
1977-1979 Riforma della Scuola media
1985 Programmi P.N.I. del Biennio; Programmi della Scuola elementare
1987 avvio del Progetto P.N.I.
1989 Programmi P.N.I. per il Triennio
Dal 1989 si è avuto un rapido susseguirsi di progetti che vanno dall’avvio del Progetto Brocca (1990) alla Riforma degli Esami di Maturità (1997), con conseguente introduzione dell’Esame di Stato (1999) e ancora nel 2000 il Riordino dei Cicli e la proposta del 2001 per i Programmi della Scuola di Base.
Va ricordata la elaborazione da parte della CIIM della Matematica per il cittadino
[modifica] Bibliografia
- Carmelo Mammana (1992): La storia della didattica della matematica in Italia: alcune riflessioni, Boll. Acc. Gioenia, Catania, 25, pp 195-210
