Teorema di unicità del sollevamento

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Il teorema di unicità del sollevamento è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia. Il teorema mostra una proprietà cruciale dei rivestimenti.

[modifica] Definizione di sollevamento

Sia $p: E \to X$ un rivestimento e $f : Y \to X$ un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di $f$ è una applicazione continua $g:Y\to E$ tale che:

$f = p\circ g.$

[modifica] Enunciato del teorema

Il teorema di unicità del sollevamento asserisce che, se $Y$ è connesso, due sollevamenti coincidenti in un punto devono coincidere su tutti i punti (sono cioè la stessa funzione). In altre parole:

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

$p:E\to X\,\!$

ed una funzione continua

$f:Y\to X\,\!$

definita su uno spazio connesso $Y$ . Siano inoltre

$g:Y\to E,\quad h:Y\to E$

due sollevamenti della $f$ . Se esiste $y 0$ in $Y$ tale che $g (y 0) = h (y 0)$ allora $g (y) = h (y)$ per ogni $y$ in $Y$ .

[modifica] Dimostrazione

Consideriamo l'insieme dei punti in cui i due sollevamenti coincidono:

$A = \{y \in Y\ |\ g(y) = h(y)\}$

Per ipotesi, $y 0$ è un elemento di $A$ . Mostriamo che $A$ ed il suo complementare $Y\setminus A$ sono entrambi aperti: poiché $Y$ è connesso, seguirà che $A = Y$ , e quindi che le due funzioni coincidono ovunque.

Dato $y$ in $Y$ , sia $V$ un aperto connesso uniformemente rivestito di $X$ contenente $f (y)$ . Siano $U g, U h$ le componenti connesse in $p - 1 (V)$ contenenti rispettivamente $g (y)$ e $h (y)$ . Consideriamo l'aperto di $Y$ :

$W = g^{-1} (U_g) \cap h^{-1} U_h.\,\!$

Se $y$ appartiene ad $A$ , allora $g (y) = h (y)$ e quindi $U g = U h$ , e siccome la restrizione di $p$ all'aperto $U g = U h$ è iniettiva segue che $g (w) = h (w)$ per ogni $w$ in $W$ , e quindi $W$ è interamente contenuto in $A$ . Questo prova che $A$ è aperto.

Se $y$ non appartiene ad $A$ allora $U g$ e $U h$ sono disgiunti, e quindi lo sono anche $W$ ed $A$ : questo prova che il complementare di $A$ è aperto.