Cardioidă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Curba roşie este o cardioidă.

În geometrie, cardioida este o epicicloidă cu o cuspidă. Cardioida este o curbă plană descrisă de un punct de pe un cerc în timp ce acesta se rostogoleşte, fără alunecare, pe un alt cerc fix, exterior şi de aceeaşi rază.

Cardioida este, de asemenea, şi un caz particular de melc: este un melc cu o cuspidă. Cuspida este formată atunci când raportul dintre a şi b din ecuaţie este echiunitar.

Cardioida a fost studiată de Römer în 1674, utilizată de Vaumesle în 1678 şi J. Koërsma în 1689, dar denumirea a fost propusă de G. Castilion în 1741. Numele ei provine de la forma asemănătoare unei inimi (gr. kardioeides: kardia, "inimă" şi eidos, "formă"). Comparată cu simbolul care reprezintă inima (♥), se observă că inima are două vârfuri ascuţite, pe când cardioida numai unul. Este mai degrabă asemănătoare cu secţiunea transversală printr-o prună.

Cardioida este transformata inversă a parabolei.

Figura mare, centrală, din mulţimea lui Mandelbrot este o cardioidă.

[modifică] Ecuaţii

Deoarece cardioida este o epicicloidă cu o cuspidă, are ecuaţiile parametrice

$x(t) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \cos 2 t \right),$

$y(t) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)$

unde r este raza cercurilor care generează curba, iar cercul fix are centrul în origine. Vârful se află la coordonatele (r,0).

Ecuaţia polară

$\rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \$

descrie o cardioidă de aceaaşi formă. Este aceeaşi curbă cu cea dată mai sus, mutată la stânga cu r unităţi de măsură, astfel încât vârful se află în origine.

Pentru demonstraţie, vezi Demonstraţii asupra cardioidei.

[modifică] Grafice

Patru grafice reprezentând cardioide orientate în cele patru direcţii cardinale, cu ecuaţiile polare proprii.

[modifică] Suprafaţă

Suprafaţa unei cardioide cu ecuaţia polară

ρ(θ) = a (1 - cosθ)

este

$A = {3\over 2} \pi a^2$ .

Vezi demonstraţie.

[modifică] Vezi şi

Bara lui Wittgenstein
microfon - o discuţie despre microfoane cardioide

[modifică] Referinţe

Caută cardioidă în Wikţionar, dicţionarul liber.

Hearty Munching despre Cardioide la cut-the-knot
Xah Lee, Cardioid (1998) (Acest sit oferă mai multe construcţii alternative).
Jan Wassenaar, Cardioid, (2005)

Adus de la "http://ro.wikipedia.org../../../c/a/r/Cardioid%C4%83.html"

Categorie: Curbe