Quaternion

Van Wikipedia

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen naar 4 dimensies. De wiskundige algebra van quaternionen is ontwikkeld door William Rowan Hamilton.

Een quaternion q wordt voorgesteld door 4 reële getallen a,b,c en d:

$q=a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k$ .

waarin naast de eenheden 1 en i die al bekend zijn uit de complexe getallen nog twee eenheden j en k voorkomen. De vermenigvuldiging van de eenheden i, j en k is niet commutatief, de vermenigvuldiging met -1 wel. Er gelden de volgende rekenregels:

$i^2 = j^2 = k^2 = i\cdot j\cdot k = -1$

en daaruit volgt ook dat:

$i\cdot j = -j\cdot i = k$

$j\cdot k = -k\cdot j = i$

$k\cdot i = -i\cdot k = j$

Noem x en y twee quaternionen. Met de rekenregels is het mogelijk x en y met elkaar te vermenigvuldigen.
De vermenigvuldiging van quaternionen is dus niet commutatief, want x.y is niet altijd hetzelfde als y.x. Dit lijkt op het eerste gezicht bijzonder, maar dit is bijvoorbeeld ook het geval voor matrices.

Quaternionen vinden toepassing bij het beschrijven van de superpositie van twee voorwerpen. Ook bij rotaties in vier dimensies spelen ze een rol. De meest bekende toepassing van het Quaternion is de relatieve positiebepaling in drie dimensionele (grafische) computerprogramma's en de "attitude" beschrijving in de ruimtevaart.

De quaternionen zelf kunnen weer uitgebreid worden naar octonionen, maar de bewerking van de octonionen is niet meer associatief.

Net als bij complexe getallen kan er een norm of lengte aan een quaternion toegekend worden:

$|q| = \sqrt {a^2+b^2+c^2+d^2}$

Er is ook een geconjugeerd quaternion

$q*=a-b\cdot i-c\cdot j-d\cdot k$ .

En er geldt dat q*q= |q|²

Een quaternion van lengte 1 is een eenheidsquaternion.
Een quaternion waarvan het reële deel (a) nul is is een puur quaternion.
Een puur eenheidsquaternion u combineert deze twee eigenschappen

Pure quaternions kunnen gezien worden als vectoren in 3D en pure eenheidquaternions vormen een bol met straal 1 in deze ruimte.

In analogie van de Euler regel bij complexe getallen:

$e^{i \alpha} = z = cos(\alpha) +sin(\alpha) \cdot i$

kan ieder eenheidsquaternion geschreven worden als

$q/|q| = cos(\alpha) +sin(\alpha) \cdot u$

waar u een puur eenheidsquaternion is.

Eenheidquaternionen vormen een groep die symmorf is met de groep van alle rotaties in 3D. Dat wil zeggen dat zij onderling hetzelfde gedrag vertonen bij vermenigvuldiging. Daarom kunnen zij gebruikt worden om een punt (x,y,z) in 3D te roteren om een as in deze ruimte.

Daartoe wordt een puur quaterion p= (0,x,y,z) voor het punt gevorms alsmede een rotatiequaternion. Daartoe wordt een puur eenheidsquaternion u genomen in de vectoriële richting van de rotatieas en gecombineerd met de cosinus en sinus van de halve draaiinghoek rond de as.

De rotatie is dan uit te rekenen met het product : p' = q*pq.

Het nieuwe quaternion p' is opnieuw een puur quaternion (0,x',y',z') dat de coördinaten van het nieuwe punt bevat.

Er zijn andere manieren om rotaties uit te voeren, bijvoorbeeld met behulp van Euler hoeken, maar die hebben vanuit het oogpunt van een software ontwikkelaar een groot nadeel: er onstaat dan een pool , een singulier punt waar de hoeken niet meer eenduidig bepaald zijn. Dit probleem staat bekend als Gimbal lock. Rotaties met behulp van quaternionen hebben dit probleem niet en dat is de voornaamste reden waarom deze wiskunde die meer dan een eeuw vrijwel ongebruikt in de kast gelegen had zich sinds de jaren 90 van de twintigste eeuw in hernieuwde belangstelling mag verheugen.

Categorie: Algebra

Quaternion

Van Wikipedia

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen