Cuaternion

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, cuaternionii, notaţi $\mathbb H$ , sunt numere hipercomplexe non-comutative obţinute prin extinderea mulţimii numerelor complexe de o manieră similară cu cea care a condus de la numerele reale la cele complexe. Aceste numere au fost introduse de matematicianul irlandez Sir William Rowan Hamilton în 1843 şi aplicate în spaţiul tridimensional. Deşi au fost înlocuiţi în majoritatea aplicaţiilor de vectori, cuaternionii sunt folosiţi în continuare atât în matematica teoretică cât şi în cea aplicată, în special pentru calcule ce implică rotaţii tridimensionale.

În timp ce numerele complexe constituie o extensie a numerelor reale realizată prin introducerea elementului imaginar i, când $i 2 = - 1$ , cuaternionii sunt o extensie analoagă, realizată prin adăugarea elementelor imaginare i, j şi k la numerele reale, când este satisfăcută condiţia $i 2 = j 2 = k 2 = i j k = - 1$ . Acest lucru se poate rezuma în următorul tabel de înmulţire:

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Un cuaternion H poate fi considerat o combinaţie liniară de patru cuaternioni "unitate", 1, i, j, et k :

$H = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,$
(unde a, b, c, d sunt numere reale).

Cuprins

1 Reprezentare
- 1.1 Vectorială
- 1.2 Matriceală
2 Proprietăţi

[modifică] Reprezentare

[modifică] Vectorială

Un cuaternion poate fi exprimat ca element al mulţimii: $\mathbb{H} = \left \{ a + bi + cj + dk /: a, b, c, d \in \mathbb{R} \right \}$

Atunci un cuaternion este un număr de forma a + bi + cj + dk, unde a, b, c, d sunt numere reale unic determinate pentru fiecare cuaternion.

Analog, un cuaternion poate fi exprimat ca produs intern (componentă cu componentă) a doi vectori, unul de componente $\breve{x} = [a_1, a_2, a_3, a_4]$ , iar celălalt constituind "baza": $[1, i, j, k]$ . În acest caz, componenta reală $a 1$ este notată separat şi pentru produsul scalar se consideră doar cele trei baze i, j, k:

$x = \left (a_1, \breve{x} \right) = \left (a_1, \left [ a_2, a_3, a_4\right ] \right )$

Această reprezentare are câteva avantaje, care pot fi observate în anumite operaţii precum produsul cuaternionilor.

[modifică] Matriceală

Cuaternionii pot fi exprimaţi cu ajutorul unor matrice pătratice de ordinul 2 de numere complexe, sau matrice pătratice de ordinul 4 de numere reale.

Unităţile u, i, j, k, sub formă 2x2 şi 4x4 sunt:

$u = \left[ \begin{matrix} 1, &0\\ 0, &1\\ \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} 1,&0,&0,&0\\ 0,&1,&0,&0\\ 0,&0,&1,&0\\ 0,&0,&0,&1\\ \end{matrix} \right]$

$i = \left[ \begin{matrix} i, &0\\ 0, &-i\\ \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 0,&1,&0,&0\\ -1,&0,&0,&0\\ 0,&0,&0,&1\\ 0,&0,&-1,&0\\ \end{matrix} \right]$

$j = \left[ \begin{matrix} 0, &1\\ -1, &0\\ \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 0,&0,&0,&-1\\ 0,&0,&-1,&0\\ 0,&1,&0,&0\\ 1,&0,&0,&0\\ \end{matrix} \right]$

$k = \left[ \begin{matrix} 0, &i\\ i, &0\\ \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 0,&0,&-1,&0\\ 0,&0,&0,&1\\ 1,&0,&0,&0\\ 0,&-1,&0,&0\\ \end{matrix} \right]$

În prima formă, cuaternionul a + bi + cj + dk e reprezentat prin

$\begin{pmatrix} a-di & -b+ci \\ b+ci & \;\; a+di \end{pmatrix}$

Această reprezentare are câteve proprietăţi interesante:

Toate numerele complexe (c = d = 0) corespund unor matrice cu elemente exclusiv reale.
Pătratul modulului unui cuaternion este egal cu determinantul matricei corespondente.
Conjugatul unui cuaternion corespunde conjugatei transpuse a matricei.
Limitată la cuaternionii unitari, această reprezentare furnizează un izomorfism de grup între S³ şi SU(2). Acest grup e important în mecanica cuantică când avem de-a face cu spinul; vezi şi matricele lui Pauli.

În a doua formă, cuaternionul a + bi + cj + dk e reprezentat prin matricea

$\begin{pmatrix} \;\; a & -b & \;\; d & -c \\ \;\; b & \;\; a & -c & -d \\ -d & \;\; c & \;\; a & -b \\ \;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}$