Vektoranalys

Wikipedia

Vektoranalys är ett område i matematiken som handlar om reell analys i flera variabler av vektorer i 2 eller fler dimensioner. Den absoluta majoriteten av användningsområdena baserar sig på 3-dimensionell vektoranalys.

Vektoranalysen består av ett antal formler och problemlösningstekniker som är mycket användbara för ingenjörer och fysiker.

Vi betraktar vektorfält; vilka åt varje punkt i rummet tilldelar en vektor, och skalärfält, vilka åt varje punkt i rummet tilldelar en skalär. Till exempel så är temperaturen i en pool ett skalärfält: för varje punkt i poolen finns en temperatur (vilket anges som ett reellt tal). Hur vattnet strömmar i poolen är däremot ett vektorfält: i varje punkt kan vi mäta vattnets hastighet, med riktning: d.v.s. en hastighetsvektor.

Tre viktiga operatorer inom vektoranalysen:

• gradient: mäter hastighet och riktning av ett förändringar i ett skalärfält; gradienten av ett skalärfält är ett vektorfält.
• rotation:mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt; rotationen av ett vektorfält är ett annat vektorfält.
• divergens: mäter ett vektorfälts tendens till att utgå ifrån eller närma sig en given punkt; divergensen av ett vektorfält är ett skalärt fält.

[redigera] Exempel

1. Gradienten av temperaturfältet ovan ger en vektor i varje punkt, som hela tiden pekar mot varmare vatten (högre temperatur). Om skalärfältet betecknas med T, så skrivs gradienten av T som grad T eller ∇ T
2. Rotationen av vattnets hastighetsvektor ovan anger, löst talat, om det finns virvlar i vattnet. Ett vektorfält v har rotationen rot v, eller ∇× v
3. Divergensen av vattnets hastighetsvektor anger, löst talat, huruvida det i en punkt tillkommer mer vatten (divergensen positiv) eller strömmar ut vatten (divergensen negativ). Om v åter är hastighetsvektorn, så är divergensen ∇·v

Flertalet analytiska resultat förstås lättare om man använder sig av tekniker från differentialgeometrin, vilken innehåller hela vektoranalysen plus lite extra: exempelvis hur man generaliserar vektoranalysen till högre dimensioner. Att det inte går att göra likadant i högre dimensioner som man gör i 3, beror bl.a. på att det inte går att på ett naturligt sätt generalisera rotationsoperatorn.

[redigera] Definitioner

1. Låt f vara ett skalärfält definierat i en delmängd av Rⁿ. Då är ∇f (x₁, …, x_n) = (df / dx₁, …, df / dx_n)
2. Låt v = (v₁, ... ,v_n) vara en vektor, och varje v_i = v_i(x₁, ..., x_n) är en funktion definierad i en given delmängd av Rⁿ.
   Divergensen av v definieras då som: ∇·v = ∑_k=1ⁿ dv_k/dx_k
3. Låt v = (v₁, v₂ ,v₃) vara en vektor i R³, och varje v_i = v_i(x,y,z) är en funktion definierad i en given delmängd av R³.
   Rotationen av v definieras då som:
   ∇×v = (dv₃/dy - dv₂/dz, dv₁/dz - dv₃/dx,dv₂/dx - dv₁/dy)

[redigera] Se även

• Gauss sats
• Stokes sats
• Integral
• Kurvintegral
• Ytintegral
• Tabell över matematiska symboler
• Lista över vektoridentiteter