Vektoranalys
Wikipedia
Vektoranalys är ett område i matematiken som handlar om reell analys i flera variabler av vektorer i 2 eller fler dimensioner. Den absoluta majoriteten av användningsområdena baserar sig på 3-dimensionell vektoranalys.
Vektoranalysen består av ett antal formler och problemlösningstekniker som är mycket användbara för ingenjörer och fysiker.
Vi betraktar vektorfält; vilka åt varje punkt i rummet tilldelar en vektor, och skalärfält, vilka åt varje punkt i rummet tilldelar en skalär. Till exempel så är temperaturen i en pool ett skalärfält: för varje punkt i poolen finns en temperatur (vilket anges som ett reellt tal). Hur vattnet strömmar i poolen är däremot ett vektorfält: i varje punkt kan vi mäta vattnets hastighet, med riktning: d.v.s. en hastighetsvektor.
Tre viktiga operatorer inom vektoranalysen:
- gradient: mäter hastighet och riktning av ett förändringar i ett skalärfält; gradienten av ett skalärfält är ett vektorfält.
- rotation:mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt; rotationen av ett vektorfält är ett annat vektorfält.
- divergens: mäter ett vektorfälts tendens till att utgå ifrån eller närma sig en given punkt; divergensen av ett vektorfält är ett skalärt fält.
[redigera] Exempel
- Gradienten av temperaturfältet ovan ger en vektor i varje punkt, som hela tiden pekar mot varmare vatten (högre temperatur). Om skalärfältet betecknas med T, så skrivs gradienten av T som grad T eller ∇ T
- Rotationen av vattnets hastighetsvektor ovan anger, löst talat, om det finns virvlar i vattnet. Ett vektorfält v har rotationen rot v, eller ∇× v
- Divergensen av vattnets hastighetsvektor anger, löst talat, huruvida det i en punkt tillkommer mer vatten (divergensen positiv) eller strömmar ut vatten (divergensen negativ). Om v åter är hastighetsvektorn, så är divergensen ∇·v
Flertalet analytiska resultat förstås lättare om man använder sig av tekniker från differentialgeometrin, vilken innehåller hela vektoranalysen plus lite extra: exempelvis hur man generaliserar vektoranalysen till högre dimensioner. Att det inte går att göra likadant i högre dimensioner som man gör i 3, beror bl.a. på att det inte går att på ett naturligt sätt generalisera rotationsoperatorn.
[redigera] Definitioner
- Låt f vara ett skalärfält definierat i en delmängd av Rn. Då är ∇f (x1, …, xn) = (df / dx1, …, df / dxn)
- Låt v = (v1, ... ,vn) vara en vektor, och varje vi = vi(x1, ..., xn) är en funktion definierad i en given delmängd av Rn.
Divergensen av v definieras då som: ∇·v = ∑k=1n dvk/dxk - Låt v = (v1, v2 ,v3) vara en vektor i R3, och varje vi = vi(x,y,z) är en funktion definierad i en given delmängd av R3.
Rotationen av v definieras då som:
∇×v = (dv3/dy - dv2/dz, dv1/dz - dv3/dx,dv2/dx - dv1/dy)
[redigera] Se även
- Gauss sats
- Stokes sats
- Integral
- Kurvintegral
- Ytintegral
- Tabell över matematiska symboler
- Lista över vektoridentiteter
