Topolojik uzaylar
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir küme X ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren S kümesinden oluşurlar. S kümesinin aşağıdaki varsayımları sağlaması gereklidir.
1) 
ve X kümeleri S'in elemanıdırlar,
2) S'in elemanları arasından seçilecek herhangi bir Uα kolleksiyonu alındığında, 
bileşim kümesi de S in bir elemanıdır,
3) S'in elemanları arasından seçtiğimiz U1,...,Un kümelerinin kesişimi olan 
kümesi de S'in elemanıdır.
Burada 2. şartta bahsettiğimiz koleksiyonun sonsuz sayıda eleman içerebileceğine ancak 3. şarttaki altkümelerin sayısının sonlu olduğuna dikkat etmek gereklidir.
Geleneksel olarak X in altkümelerinden S'in elemanı olanlara açık kümeler denir. Buna karşılık C kümesi X'in bir altkümesiyse ve de 
fark kümesi açık bir kümeyse, o zaman C'ye de kapalı bir küme denir. Bu tanıma göre X ve kümeleri aynı zamanda hem açık hem kapalıdırlar.
Diyelim ki verilen bir (X,S) topolojik uzayında X'in altkümelerinden oluşan öyle bir Y kümesi bulabiliyoruz ki her açık küme Y'nin elemanlarının bir bileşimi olarak yazılabiliyor, bu durumda Y kümesine (X,S) uzayının temeli denir.
Örnekler
1) Herhangi bir X kümesi verildiğinde, S'yi X'in tüm alt kümelerinin kümesi aldığımızda (yani her altkümeyi açık kabul ettiğimizde) bir topolojik uzay elde ederiz. Bu topolojiye taneli (discrete) topoloji denir. Topolojiler içersinde en az ilginç olanıdır.
2) Reel Sayılar üzerinde (a,b) şeklindeki (a 
veya b 
olabilir) doğru parçalarının yarattığı topoloji. Öklidci Uzaylar'ın geometrik özelliklerini anlamakta kullanılan en doğal topolojidir.
