Топологічний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Топологічні простори є об'єктами, що дозволяють формалізувати такі поняття як збіжність, зв'язність та неперевність. Їх успішно застосовують у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднуюче поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Ця стаття вимагає базових знань математики. Для більш наочного огляду теми звертайтеся до статті «топологія».

Зміст 1 Визначення 2 Неперервні Функції 3 Приклади 4 Література

[ред.] Визначення

Топологічним простором будемо називати таку впорядковану пару (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє наступним умовам:

1. Порожня множина та множина X належать Γ.
2. Об'єднання довільної кількості множин з Γ також належить Γ.
3. Перетин будь-якої пари множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Оскільки множини в Γ є відкритими, їх доповнення є замкненими множинами.

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ₁ та Γ₂. Якщо будь-яка множина з топології Γ₁ також належить T₂, кажуть, що топологія Γ₁ є звуженням топології Γ₂.

[ред.] Неперервні Функції

Функція, що відображає топологічний простір (X, Γ₁) на топологічний простір (X, Γ₂) називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини є відкрита множина. Інтуітивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають таке неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

[ред.] Приклади

Якщо взяти множину відрізків вигляду на дійсній прямій , то ми отримаємо «топологію стрілки». Множина всіх відкритих інтервалів {(a, b) | a, b з (0..1)} також утворює топологічний простір над інтервалом 0..1 .

Будь-який евклідів простір є топологічним простором. Базовою топологією для них можна обрати топологію відкритих куль, або відкритих кубів.

Узагальнюючи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базовою топологією якого є відкриті кулі. З курсу функціонального аналізу такими є нескінченновимірні простори функцій.

[ред.] Література

• В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология випуск 21 серії «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Я.Стюарт, Топология, Квант, № 7, 1992.
• В. В. Прасолов, Наглядная топология