幺半群

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在抽象代數裡，幺半群是指有單位元和一具結合律的二元運算的代數結構。另外，也可以說是具有單位元的半群。

目录 1 定義 2 例子 3 性質 4 幺半群同態 5 和範疇論的關係 6 外部連結

[编辑] 定義

幺半群是一具有二元運算*: M × M → M的集合M，其符合下列的公理：

• 結合律：對任何在M內的a、b、c，(a*b)*c = a*(b*c)。
• 單位元：存在一M的元素e，使得任一於M內的a都符合a*e = e*a = a。

另外亦常看到這附加的公理：

• 封閉性：對任何在M內的a、b，a*b 也會在M內。

但這不是必要的，當此公理內含於二元運算的概念內時。

另外，也可以說是具有單位元的半群。

幺半群符合除了逆元素之外的群的所有公理。具有逆元素的幺半群和群是一樣的。

其運算滿足交換律的幺半群稱做可交換幺半群(或較少使用的阿貝爾幺半群)。

運算元幺半群是一作用在集合X上的幺半群M。亦即，存在一運算$ : M × X → X符合幺半群的運算。

• 對任一在X內的x：e$x=x。
• 對任何在M內的a、b及在X內的x：a $ (b $ x) = (a * b) $ x。

[编辑] 例子

• 每一個單元素集合 {x}都可給出一個單元素(當然)幺半群。對定固的x，其幺半群是唯一的，當其幺半群公理在此例子必須滿足x*x=x時。
• 每一個群都是幺半群，且每一個阿貝爾群都是可交換幺半群。
• 每一半格都是等冪可交換幺半群。
• 任一個半群S都可以變成幺半群，簡單地加上一不在S內的元素e，並定義ee=e和對任一在S內的s，es=s=se。
• 自然數N是加法及乘法上的可交換幺半群。
• 以加法或乘法為運算，任何單作環的元素
  • 以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數
• 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內n×n矩陣所組成的集合

某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的幺半群。空字元串當成單位元。這個幺半群標記為Σ^*，並稱為在Σ內的自由幺半群。

• 給定一幺半群M，並考慮包含其所有子集的冪集P(M)。這些子集的二元運算可以定義成S * T = {s * t : s在S內且 t在T內}。這使得P(M)變成了具有單位元{e}的幺半群。依同樣的方法，一個群的冪集是一在群子集的乘積下的幺半群。
• 設S為一集合。由所有函數S → S所組成的集合會是在複合函數下的幺半群。其單位元為恆等函數。若S為有限的且有n個元素，其幺半群也會是有限的，且有nⁿ個元素。
• 廣義化上述的例子，設C為一範疇且X為C內的一對象。由X所有自同態組成的集合，標記為End_C(X)，是一在態射複合下的幺半群。更多有關範疇論和幺半群的關係請見下述。
• 在連通和下的閉流形同態類所組成的集合，其單位元為一般二維球面類。此外，當a標記為環面類且b標記為射影平面類，此一幺半群的每一個元素c都會有一唯一的表示式c=na+mb，其中n是大於等於零的整數，m為0、1或2，且會有3b=a+b。
• 設<f>是一個數為n的循環幺半群，亦即 < f > = {f⁰,f¹,..,f^{n − 1}}。然後，fⁿ = f^k，其中。事實上，不同的k會給出不同的幺半群，且每個幺半群都會和另一個同構。

此外，f也可以想成在點0,1,2,..,n − 1上的函數，給定如下

或等價地表示成

< f > 元素間的乘法即由複合函數給定。

注意當k = 0時，函數f是{0,1,2,..,n − 1}的置換，並給出個數為n的唯一循環群。

[编辑] 性質

在一幺半群內，可以定義一元素x的正整數冪：x¹=x 及 xⁿ=x*...*x (乘上n次)，其中n>1。冪的規則x^n+p=xⁿ*x^p則是很明顯的。

由定義可以證明其單位元e是唯一的。然後，對任一x，可以設x<sup0為e，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。

是有可能定義的逆元素的：一元素x稱為可逆，若存在一元素y，使得x*y = e且y*x = e。此一元素y便稱做x的逆元素。結合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。

若 y是x的逆元素，則可以定義x的負冪，以x⁻¹=y及 x⁻ⁿ=y*...*y (乘上n次)，其中n>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼x的逆元素通常會寫做x⁻¹。所有在幺半群M內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下，每個幺半群都含有一個群。

但並不是每個幺半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個幺半群，其兩個元素a和b會有a*b=a的關係，即使b不是單位元。如此的幺半群是不可能包含於一個群內的， 因為在群裡，兩邊一同乘a的逆元素，就會得到b = e的結果，但這不是真的。一個幺半群(M,*)若具有消去性，即表示對任何在M內的a、b、c，a*b = a*c永遠意指b = c且b*a = c*a也永遠意指b = c。一具有消去性的可交換幺半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數(加法運算下的群)可以由自然數(具有消去性的加法運算下的可交換幺半群)建立。但一具有消去性的不可交換幺半群則一定不可能包含於一個群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的，它會是一個群。

一可逆幺半群為一幺半群，其任一在M內的a，總存在一唯一在M內的a^-1，使得a=aa^-1a且a^-1=a^-1aa^-1。

一幺半群G的子幺半群是G的子集H，其包含有單位元，且若x、y屬於H，則xy屬於H。很清楚地，H本身也是個幺半群，在G的二元運算之下。

[编辑] 幺半群同態

兩個幺半群(M, *)和(M′, @)之間的同態是一個函數f : M → M′，會有如下兩個性質：

• f(x*y) = f(x)@f(y) 對所有在M內的x和y
• f(e) = e′

其中e和e′分別是M和M′的單位元。

不是每一個群胚同態都會是個幺半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於幺半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

雙射幺半群同態稱做幺半群同構。

[编辑] 和範疇論的關係

Monoids can be viewed as a special class of categories. Indeed, the axioms required of a monoid operation are exactly those required of morphism composition when restricted to the set of all morphisms whose source and target is a given object. That is,

A monoid is, essentially, the same thing as a category with a single object.

More precisely, given a monoid (M,*), one can construct a small category with only one object and whose morphisms are the elements of M. The composition of morphisms is given by the monoid operation *.

Likewise, monoid homomorphisms are just functors between single object categories. In this sense, category theory can be thought of as an extension of the concept of a monoid. Many definitions and theorems about monoids can be generalised to small categories with more than one object.

Monoids, just like other algebraic structures, also form their own category, Mon, whose objects are monoids and whose morphisms are monoid homomorphisms.

There is also a notion of monoid object which is an abstract definition of what is a monoid in a category.

[编辑] 外部連結

• 埃立克·魏爾斯史甸在MathWorld中所描述之Monoid。
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