距离

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距離是一種純量，不具方向，僅含量。這種量不會是負數。

在物理學上，距離是由某些媒介如人、動物和交通工具所經過的路線的長度，由起點到終點的向量則是位移。

在數學上，距離是定義在度量空間中的一種函數。例如：在日常生活中，最常見的距離就是歐幾里德空間中的距離，是2階範數；在圖論中，距離是兩個頂點之間最短路徑經過的邊的數目；在坐标幾何中，距離是1階範數。

[编辑] 直角坐標系中

[编辑] 两点间的距离

即两个点之间的线段的长度。

二维距离： $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
三维距离： $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$

[编辑] 点到直线的距离

點和直線的距離是點到直線的垂直線段的長度

若在平面坐標幾何上的直線定義為 ax + by + c = 0，點的座標為 (x₀, y₀)，則它們之間的距離為：

$d = \left| \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|$

[编辑] 异面直线间的距离

设两直线的方程分别为：

$\frac{x-x_1}{L_1} = \frac{y-y_1}{M_1} = \frac{z-z_1}{N_1}$

$\frac{x-x_2}{L_2} = \frac{y-y_2}{M_2} = \frac{z-z_2}{N_2}$

则，该两直线间的距离

$d = \frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ L_1 & M_1 & N_1 \\ L_2 & M_2 & N_2 \end{vmatrix}} {\sqrt{ \begin{vmatrix} M_1&N_1 \\ M_2&N_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} N_1&L_1 \\ N_2&L_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} L_1&M_1 \\ L_2&M_2 \end{vmatrix}^2 }}$

[编辑] 点到平面的距离

若点坐标为( $x 0, y 0, z 0$ ),平面为Ax+By+Cz+D=0,则点到平面的距离为:

$d = \left|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$

[编辑] 两平行直线

若直線分別為 ax + by + c₁ = 0, 和 ax + by + c₂ = 0, 則它們之間的距離為:

$d = \left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

[编辑] 两平行平面间的距离

若两平为 Ax + By + Cz+D₁ = 0, 和 Ax + By +Cz+ D₂ = 0, 则他们之间的距离为:

$d = \left|\frac{D_1-D_2}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$

[编辑] 范数

設在 $\mathbb{R}^m$ 空間有兩點， $p = (p 1, p 2,..., p m)$ ， $q = (q 1, q 2,..., q m)$ ，不同的範數都是一種距離：

1-阶范数	=	$\sum \left\| x_i - y_i \right\|$
2-阶范数	=	$\left( \sum \left\| p_i - q_i \right\|^2 \right)^\frac{1}{2}$
n-阶范数	=	$\left( \sum \left\| p_i - q_i \right\|^n \right)^\frac{1}{n}$
无穷大阶范数	=	t 阶范数的极限，即 n 趋向无穷大 $\lim_{n \to \infty} \left( \sum \left\| p_i - q_i \right\|^n \right)^\frac{1}{n}$
	=	max $\left\| p_i - q_i \right\|$

几何术语（檢視 • 討論 • 編輯 • 歷史）
点、线、面、体
点：	顶点 \| 切点
线：	直线 \| 平行线 \| 曲线 \| 切线 \| 线段 \| 弦
面：	平面 \| 曲面 \| 边 \| 角
體：	立體
常見幾何形狀
线
螺线 \| 圓錐曲線
平面形狀
正多边形 \| 三角形 \| 四边形 \| 正方形 \| 矩形（长方形） \| 梯形 \| 平行四边形 \| 菱形 \| 圆形 \| 椭圆 \| 扇形 \| 弓形
立體
正多面体：	正四面體 \| 立方體（正六面體） \| 正八面體 \| 正十二面體 \| 正二十面體
星形正多面體：	小星形十二面體 \| 大十二面體 \| 大星形十二面體 \| 大二十面體
其它立體：	长方体 \| 棱锥 \| 圆锥 \| 球 \| 圆球 \| 椭球 \| 圆台 \| 圆柱
幾何特徵
長度 \| 面积 \| 体积 \| 表面積 \| 周长 \| 圆周率 \| 歐拉特徵數
基本幾何慨念
相似 \| 全等 \| 平行 \| 垂直 \| 距离 \| 比例
幾何理論和方法
定理 \| 公理 \| 證明 \| 黄金分割 \| 尺规作图
幾何工具
尺 \| 圆规

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1-阶范数	=	$\sum \left\| x_i - y_i \right\|$
2-阶范数	=	$\left( \sum \left\| p_i - q_i \right\|^2 \right)^\frac{1}{2}$
n-阶范数	=	$\left( \sum \left\| p_i - q_i \right\|^n \right)^\frac{1}{n}$
无穷大阶范数	=	t 阶范数的极限，即 n 趋向无穷大 $\lim_{n \to \infty} \left( \sum \left\| p_i - q_i \right\|^n \right)^\frac{1}{n}$
	=	max $\left\| p_i - q_i \right\|$

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