Триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Вижте пояснителната страница за други значения на Триъгълник.

Триъгълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла.

Съдържание

1 Видове триъгълници
2 Основни понятия
3 Точки, прави и описани окръжности
4 Лице на триъгълник
5 Триъгълници в неевклидови геометрии
6 Аналози

[редактиране] Видове триъгълници

Според страните си, триъгълниците могат да бъдат:

Равностранни - когато дължинатите на трите страни са равни. В равностранните триъгълници, ъглите също да равни. Всеки от тях е 60°.
Равнобедрени -когато две от страните са равни. В тези триъгълници има 2 равни ъгъла.
Разностранни триъгълници - всяка от страните е с различна дължина.


Равностранен	Равнобедрен	Разностранен

Триъгълниците могат да бъдат класифицирани и според големината на най-големия им вътрешен ъгъл:

Правоъгълният триъгълник има ъгъл от 90°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна във всеки правоъгълен триъгълник. Другите две страни се наричат катети.
Тъпоъгъленият триъгълник има вътрешен ъгъл по-голям от 90°
В остроъгълният триъгълник, всички вътрешни ъгъли са по-малки от 90°


Правоъгълен	Тъпоъгълен	Остроъгълен

[редактиране] Основни понятия

Основните понятия, свързани с триъгълниците са представени от Евклид в книги 1-4 от "Елементите" през около 300г. пр.Хр.

Подобие- Два триъгълника са подобни тогава и само тогава, когато ъглите на единия са равни на съответстващите ъгли на другия. В този случай, дължините на тяхните съответстващи страни са пропорционални. Има три признака за подобност:

Ако три от ъглите на два триъгълника са еднакви, то триъгълниците са подобни. ¹
Ако съотношението на три съответстващи страни в два триъгълника е еднакво, то триъгълниците са подобни.
Ако съотношението на две съответстващи страни в два триъгълника е еднакво и ъглите между тях са еднакви, то триъгълниците са подобни.

¹ Доказано е, че ако само два от ъглите са еднакви, то и третия е еднакъв.

Синус, косинус - Като се използва правоъгълен триъгълник могат да се дефинират основните тригонометрични функции- синус и косинус. Синус в правоъгълния триъгълник е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, а косинус е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.

Триъгълник с обозначени върхове, страни и ъгли

В Евклидовата геометрия сумата на трите ъгъла на един триъгълник е равна на 180°. Това правило позволява третият ъгъл да бъде намерен, ако се знаят другите два.

Илюстрация на Питагоровата теорема

Питагоровата теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата.

$c^2 = a^2\,+\,b^2$

Това означава, че ако е известна дължината на всеки две от страните, може да се намери дължината на третата страна. Това може да се види на илюстрацията (известна още и като "Гащите на Питагор"). Площта на големия квадрат е равна на сбора от площите на двата малки квадрата.

Изразена чрез косинус, Питагоровата теорема изглежда така:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$

В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните, или две от тях и ъгълът, сключен помежду им.

Синусовата теорема гласи:

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d$

където d е диаметърът на описаната окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна.

[редактиране] Точки, прави и описани окръжности

Описана около триъгълник окръжност, се нарича тази окръжност, която преминава и през трите му върха.

Център на описаната окръжност

Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаната около тях окръжност

Перпендикулярна бисектриса (симетрала) в триъгълник е правата линия, която минава препрендикулярно през средата на някоя от страните. Трите перпендикуляри бисектриси се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.

Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл е прав. Също така, ако центърът се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако е центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.

Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър

Височина в триъгълника е перпендикулярът, спуснат от всеки връх към срещуположната страна. Тази срещуположна страна се нарича основа към височината. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случаи, ортоцентърът се намира извън триъгълника.

Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност

Ъглополовящите в един тръгълник са тези прави, който минават през всеки от ъглъте, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглоповящи е център на вписаната в един триъгълник окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни до нея. Има и три други окръжности - това са външно вписаните окръжности, които лежат външно за триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно описаните окръжности формират ортоцентричната система.

Медицентърът е центъра на тежестта

Медианата в триъгълника е правата, която минава през върха и средата на срешулежащата му страна. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър. Това е също и центъра на тежестта. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от медицентъра по средата на отсрещната страна.

Девет-точкова окръжност

Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност - окръжността на деветте точки. Останалите три точки са средни точки за тези отсечки от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от този на описаната около триъгълника окръжност.

Права на Ойлер

Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центъра на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една линия, позната като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равен на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази линия.

Симедиана - ако една права е симетрична спрямо ъглополовящата на един ъгъл относно ъглополовящата, тя се нарича симедиана. Трите симедиани се пресичат в точка на Лемуан.

Средна отсечка е отсечка, съединяваща средите на две от страните. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.

[редактиране] Лице на триъгълник

Изчисляването на лицето на триъгълника, може да стане по няколко начина:

С метода на геометрията

Лицето S на триъгълника е S = ½bh, където b е дължината на която и да е неговата страна, а h (височината) е препендикуляра, спуснат от върха към основата.

За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта наg 180°, и се долепя по първия, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепя от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е bh, то лицето на триъгълника е ½bh.

С вектори

Лице на триъгълник с вектори

Лицето на триъгълника ABC е половината от това и тогава S = ½|AB × AC|.

Използвайки тригонометрични функции

Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на четрежа вдясно, височината е h = a sin γ. Замествайки h във формулата S = ½bh the лицето на триъгълника може да бъде изразено като S = ½ab sin γ. Лицето на успоредника е ab sin γ.

Използвайки координатна система

Ако върхът A е с координати началото на координатната система (0, 0), а координатите на другите два върха са B = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂), тоагва лицето S може да бъде изчислено като 1/2 пъти абсолютната стойност на детерминантата.

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}$

или S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|.

Формула на Херон

Друг начин да се намери лицето на един триъгълник е Хероновата формула:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

където p = ½ (a + b + c) е полупериметъра на триъгълника.

[редактиране] Триъгълници в неевклидови геометрии

Ако триъгълника не лежи изцяло в една равнина, то той се подчинява на формулите в т.нар. неевклидови геометрии, а не на посочените по-горе. Пример за такъв триъгълник са точки от земната повърхност с 0° ш. и 0° д., 0° ш. и 90° и.д. и Северния полюс, които са вместо равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сбора им не е 180.