三角形
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三角形(ã•ã‚“ã‹ãã‘ã„ã€ã•ã‚“ã‹ã£ã‘ã„ã€triangle)ã¯ã€åŒä¸€ç›´ç·šä¸Šã«ãªã„ 3 点ã¨ã€ãれらをçµã¶ 3 ã¤ã®ç·šåˆ†ã‹ã‚‰ãªã‚‹å¤šè§’形。ãã® 3 点を三角形ã®é ‚点ã€3 ã¤ã®ç·šåˆ†ã‚’三角形ã®è¾ºã¨ã„ã†ã€‚
目次 |
[編集] 記法・定義
点 A, 点 B, 点C ã‚’é ‚ç‚¹ã¨ã™ã‚‹ä¸‰è§’å½¢ã¯è¨˜å· â–³ を用ã„㦠△ABC ã¨è¡¨è¨˜ã™ã‚‹ã€‚
三角形㮠2 ã¤ã®è¾ºã§ã§ãる角をãã®ä¸‰è§’å½¢ã®å†…角(ã¾ãŸã¯ã€å˜ã«è§’)ã¨ã„ã†ã€‚図 1 ã§ã„ãˆã°ã€âˆ ACB ãŒå†…角㮠1 ã¤ã¨ãªã‚‹ã€‚三角形㯠3 ã¤ã®å†…角をもã¡ã€ãã®å’Œã¯ 180 度ã¨ãªã‚‹ã€‚ã¾ãŸã€âˆ ACD ã®ã‚ˆã†ã« 1 ã¤ã®è¾ºã¨ 1 ã¤ã®è¾ºã¨ã®ã¨ã®å»¶é•·ç·šã«ã‚ˆã£ã¦ã¤ãられる角を三角形ã®å¤–角ã¨ã„ã†ã€‚ã¾ãŸã€ä¸‰è§’å½¢ã§ã‚ã‚‹é ‚ç‚¹ï¼ˆè§’ï¼‰ã«å‘ã‹ã„åˆã†è¾ºã‚’対辺ã¨ã„ã†ã€‚
一般ã«ä¸‰è§’å½¢ã®é ‚点やãã®é ‚点ã®å†…角ã€å†…角ã®å¤§ãã•ã‚’表ã™ã¨ãã«ã¯å¤§æ–‡å—ã®ã‚¢ãƒ«ãƒ•ã‚¡ãƒ™ãƒƒãƒˆã‚’用ã„る。角ã®å¯¾è¾ºã‚„ãã®é•·ã•ã‚’表ã™ã«ã¯å¯¾å¿œã™ã‚‹å°æ–‡å—ã®ã‚¢ãƒ«ãƒ•ã‚¡ãƒ™ãƒƒãƒˆã‚’用ã„ã‚‹ã‹ã€2 ã¤ã®é ‚点ã®è¨˜å·ã‚’並ã¹ã¦è¡¨ã™ã€‚ãŸã¨ãˆã°ã€å›³ 2 ã®è§’ A ã®å¯¾è¾ºã¯ a ã¾ãŸã¯è¾º BC ã¨ã—ã¦è¡¨ã™ã€‚
[編集] 三角形をæˆã‚Šç«‹ãŸã›ã‚‹3辺
三角形ã®ã©ã®è¾ºã®é•·ã•ã‚‚ä»–ã®äºŒè¾ºã®é•·ã•ã®å’Œã‚ˆã‚Šå°ã•ã„。ã™ãªã‚ã¡ã€ä¸‰è§’形を構æˆã™ã‚‹3辺ã®é•·ã•ã‚’aã€bã€cã¨ã™ã‚‹ã¨ãã€æ¬¡ã®ä¸‰ã¤ã®ä¸ç‰å¼ãŒæˆã‚Šç«‹ã¤ã€‚
- a<b+c
- b<a+c
- c<a+b
ã“ã®é–¢ä¿‚ã¯ä¸‰è§’ä¸ç‰å¼ã¨ã—ã¦ä¸€èˆ¬åŒ–ã•ã‚Œã‚‹ã€‚ 逆ã«ã€ã“ã®ä¸ç‰å¼ãŒä¸‰ã¤ã¨ã‚‚æˆã‚Šç«‹ã¦ã°ã€a,b,cã‚’3辺ã®é•·ã•ã¨ã—ã¦ä¸‰è§’å½¢ãŒä½œã‚Œã‚‹ã“ã¨ãŒçŸ¥ã‚‰ã‚Œã¦ã„る。
[編集] 三角形ã®ç¨®é¡ž
三角形ã¯ãã®è¾ºã‚„角ã«ã‚ˆã£ã¦ã€ã„ãã¤ã‹ã®ç¨®é¡žã«åˆ†ã‘られる。
角ã®å¤§ãã•ãŒ 0 度より大ãã 90 度よりå°ã•ã„å ´åˆã€ãã®è§’ã‚’é‹è§’ã¨ã„ã†ã€‚角ã®å¤§ãã•ãŒ90 度ã®å ´åˆã€ãã®è§’を直角ã¨ã„ã†ã€‚角ã®å¤§ãã•ãŒ 90 度より大ãã 180 度よりå°ã•ã„å ´åˆã€ãã®è§’ã‚’éˆè§’ã¨ã„ã†ã€‚三角形ã®å†…角ã®å’Œã¯ 180 度ãªã®ã§ã€ä¸‰è§’形㯠90 度以上ã®å¤§ãã•ã®è§’ã‚’ 2 ã¤ä»¥ä¸Šã¯æŒã¦ãªã„。ã™ãªã‚ã¡ã€ä¸‰è§’å½¢ã®å†…角ã¯ã™ã¹ã¦é‹è§’ã‹ã€ä¸€ã¤ã®ç›´è§’ã¾ãŸã¯ã€éˆè§’ã‚’ã‚‚ã¤ã‹ã®ã„ãšã‚Œã‹ã§ã‚る。
ã“ã“ã§ã€ã™ã¹ã¦ã®è§’ãŒé‹è§’ã§ã‚る三角形をé‹è§’三角形(図 2)ã€1 ã¤ã®è§’ãŒç›´è§’ã§ã‚る三角形を直角三角形(図 4)ã€1 ã¤ã®è§’ãŒéˆè§’ã§ã‚る三角形をéˆè§’三角形(図 3)ã¨ã„ã†ã€‚
ã¾ãŸã€è¾ºã®é•·ã•ãŒå…¨éƒ¨ç•°ãªã‚‹ä¸‰è§’形をä¸ç‰è¾ºä¸‰è§’形(図 2)ã¨ã„ã†ã€‚2 ã¤ã®è¾ºã®é•·ã•ãŒç‰ã—ã„三角形を二ç‰è¾ºä¸‰è§’形(図 5)ã¨ã„ã†ã€‚ã¾ãŸã€2 ã¤ã®è¾ºãŒç‰ã—ã„直角三角形を直角二ç‰è¾ºä¸‰è§’形(図 6)ã¨ã„ã†ã€‚3 ã¤ã®è¾ºã®é•·ã•ãŒã™ã¹ã¦ç‰ã—ã„三角形をæ£ä¸‰è§’形(図 7)ã¨ã„ã†ã€‚
[編集] 直角三角形
直角三角形ã®ç›´è§’ã®å¯¾è¾ºã‚’斜辺ã¨ã„ã†ï¼ˆå›³ 4)。直角三角形ã§ã¯ã€æ–œè¾ºãŒã»ã‹ã® 2 ã¤ã®è¾ºã‚ˆã‚Šã‚‚å¿…ãšé•·ã„。最大辺㌠c ã® â–³ABC ãŒç›´è§’三角形ã§ã‚ã‚‹ã“ã¨ã¯ã€æ¬¡ã®å…¬å¼
- a2 + b2 = c2
ãŒæˆã‚Šç«‹ã¤ã“ã¨ã¨åŒå€¤ã§ã‚る(ピタゴラスã®å®šç†ï¼‰ã€‚
[編集] 二ç‰è¾ºä¸‰è§’å½¢
二ç‰è¾ºä¸‰è§’å½¢ã®ç‰ã—ã„ 2 ã¤ã®è¾ºãŒä½œã‚‹å†…è§’ã‚’é ‚è§’ã¨ã„ã„ã€æ®‹ã‚Šã® 2 ã¤ã®å†…角を底角ã¨ã„ã†ã€‚ã¾ãŸã€é ‚角ã®å¯¾è¾ºã‚’底辺ã¨ã„ã†ã€‚â–³ABC ㌠b = c ã®äºŒç‰è¾ºä¸‰è§’å½¢ã§ã‚ã‚‹ã“ã¨ã¯ã€âˆ B = ∠C ã§ã‚ã‚‹ã“ã¨ã€ã¾ãŸ ∠A ã®äºŒç‰åˆ†ç·šãŒè¾º BC ã‚’åž‚ç›´ã«äºŒç‰åˆ†ã™ã‚‹ã“ã¨ã¨ãã‚Œãžã‚ŒåŒå€¤ã§ã‚る。
直角二ç‰è¾ºä¸‰è§’å½¢ã®é ‚角ã®å¤§ãã•ã¯ 90 度ã§ã‚ã‚Šã€åº•è§’ã®å¤§ãã•ã¯ãã‚Œãžã‚Œ 45 度ã¨ãªã‚‹ï¼ˆå›³ 6)。
[編集] æ£ä¸‰è§’å½¢
æ£ä¸‰è§’å½¢ã®å†…角ã¯ã™ã¹ã¦ç‰ã—ã 60 度ã¨ãªã‚Šã€ä¸‰è¾ºã®é•·ã•ã‚‚ç‰ã—ã„。ã¾ãŸä»»æ„ã® 1 角㌠60 度ã§ã‚る二ç‰è¾ºä¸‰è§’å½¢ã¯æ£ä¸‰è§’å½¢ã§ã‚る。(図 7)。
[編集] é¢ç©
1 ã¤ã®è¾ºã€ã¾ãŸã¯ãã®å»¶é•·ç·šã¨ç›´è§’ã«äº¤ã‚ã‚‹ç›´ç·šã‚’ãã®è¾ºã«ãŸã¦ãŸåž‚ç·šã¨ã„ã„ã€åž‚ç·šã¨ãã®è¾ºã¨ã®äº¤ç‚¹ã‚’åž‚ç·šã®è¶³ã¨ã„ã†ã€‚ã‚る辺ã«ãŸã¦ãŸåž‚ç·šãŒã€ãã‚Œã«å¯¾ã™ã‚‹é ‚点を通るã¨ãã€åž‚ç·šã®è¶³ã¨ãã®é ‚点ã¨ã®è·é›¢ã‚’ãã®ä¸‰è§’å½¢ã®é«˜ã•ã¨ã„ã†ã€‚高ã•ã¯ 3 ã¤ã®è¾ºã«å¯¾ã—ã¦å®šç¾©ã§ãる。ã‚ã‚‹é ‚ç‚¹ A ã®å¯¾è¾º a ã«å¯¾ã™ã‚‹é«˜ã•ãŒ ha ã®ã¨ãã€ä¸‰è§’å½¢ã®é¢ç© S ã¯
ã§è¡¨ã•ã‚Œã‚‹ã€‚ã¾ãŸã€3 辺ã®é•·ã•ã‚’ãã‚Œãžã‚Œ a, b, c ã¨ã—ã€s = (a + b + c) / 2 ã¨ã™ã‚‹ã¨ãã€ä¸‰è§’å½¢ã®é¢ç© S ã¯
ã¨è¡¨ã•ã‚Œã‚‹ï¼ˆãƒ˜ãƒãƒ³ã®å…¬å¼ï¼‰ã€‚ 二次元平é¢ä¸Šã§ã€åº§æ¨™ (0, 0), (x1, y1), (x2, y2) ã‚’é ‚ç‚¹ã¨ã™ã‚‹ä¸‰è§’å½¢ã®é¢ç©ã¯ã€
ã§è¡¨ã›ã‚‹ã€‚
[編集] 五心
三角形ã¯å†…心ã€å¤–心ã€åž‚心ã€é‡å¿ƒã€å‚心をもã¤ã€‚ã“れらをã‚ã‚ã›ã¦äº”心ã¨ã„ã†ã€‚
外心を Oã€é‡å¿ƒã‚’ Gã€åž‚心を H ã¨ãŠãã¨ã€3 点 O, G, H ã¯ä¸€ç›´ç·šä¸Šã«ã‚り(ã“ã®ç›´ç·šã‚’オイラー線ã¨å‘¼ã¶ï¼‰ã€ã¾ãŸ OG : GH = 1 : 2 ã§ã‚る。
[編集] 内心
三角形㮠3 ã¤ã®å†…角ã®äºŒç‰åˆ†ç·šã¯ 1 点ã§äº¤ã‚る。ã“ã®ç‚¹ã®ã“ã¨ã‚’内心ã¨ã„ã†ã€‚内心㯠3 ã¤ã®è¾ºã‹ã‚‰ç‰è·é›¢ã§ã‚ã‚Šã€å†…心をä¸å¿ƒã¨ã—ã¦åŠå¾„ãŒãã®è·é›¢ã§ã‚る円㯠3 ã¤ã®è¾ºã«æŽ¥ã™ã‚‹ã€‚ã“ã®å††ã®ã“ã¨ã‚’内接円ã¨ã„ã†ã€‚
[編集] 外心
三角形㮠3 辺ã®åž‚直二ç‰åˆ†ç·šã¯ 1 点ã§äº¤ã‚る。ã“ã®ç‚¹ã®ã“ã¨ã‚’外心ã¨ã„ã†ã€‚外心㯠3 ã¤ã®é ‚点ã‹ã‚‰ç‰è·é›¢ã§ã‚ã‚Šã€å¤–心をä¸å¿ƒã¨ã—ã¦åŠå¾„ãŒãã®è·é›¢ã§ã‚る円㯠3 ã¤ã®é ‚点を通る。ã“ã®å††ã®ã“ã¨ã‚’外接円ã¨ã„ã†ã€‚
[編集] 垂心
三角形㮠3 ã¤ã®é ‚点ã‹ã‚‰ãã‚Œãžã‚Œã®å¯¾è¾ºã«å¼•ã„ãŸåž‚線㯠1 点ã§äº¤ã‚る。ã“ã®ç‚¹ã®ã“ã¨ã‚’垂心ã¨ã„ã†ã€‚
[編集] é‡å¿ƒ
三角形ã®é ‚点ã¨ãã®å¯¾è¾ºã®ä¸ç‚¹ã‚’çµã¶ 3 ã¤ã®ç·šåˆ†ã¯ 1 点ã§äº¤ã‚る。ã“ã®ç‚¹ã®ã“ã¨ã‚’é‡å¿ƒã¨ã„ã†ã€‚ã¾ãŸã€ãã‚Œãžã‚Œã®ç·šåˆ†ã‚’ä¸ç·šã¨ã„ã„ã€é‡å¿ƒã¯ä¸ç·šã‚’ 1 : 2 ã®æ¯”ã§åˆ†å‰²ã™ã‚‹ã€‚
[編集] å‚心
三角形㮠1 ã¤ã®å†…角ã¨ä»–ã® 2 ã¤ã®å¤–角ã®äºŒç‰åˆ†ç·šã¯ 1 点ã§äº¤ã‚る。ã“ã®ç‚¹ã®ã“ã¨ã‚’å‚心(ã¼ã† ã—ん)ã¨ã„ã†ã€‚三角形ã«å‚心㯠3 ã¤ã‚る。å‚心㯠1 ã¤ã®è¾ºã¨ 2 ã¤ã®è¾ºã®å»¶é•·ç·šã¨ç‰è·é›¢ã«ã‚ã‚Šã€å‚心をä¸å¿ƒã¨ã—ã¦åŠå¾„ãŒãã®è·é›¢ã§ã‚る円をå‚接円ã¨ã„ã†ã€‚
三角形㮠3 辺ã€ãŠã‚ˆã³ãã®å»¶é•·ç·šä¸Šã¨ç‰è·é›¢ã§ã‚る点ã¯ã€å†…心ã¨å‚心ã‚ã‚ã›ã¦ 4 点ã‚る。
[編集] åˆåŒæ¡ä»¶
2 ã¤ã®ä¸‰è§’形を移動ã—ã¦é‡ãã‚ã‚ã›ã‚‹ã“ã¨ãŒã§ãã‚‹ã¨ãã€ã“ã® 2 ã¤ã®ä¸‰è§’å½¢ã¯åˆåŒã§ã‚ã‚‹ã¨ã„ã†ã€‚ã“ã“ã§ã„ã†ç§»å‹•ã¨ã¯ã€å¹³è¡Œç§»å‹•ã€å›žè»¢ç§»å‹•ã€å¯¾ç§°ç§»å‹•ã‚’組ã¿åˆã‚ã›ãŸã‚‚ã®ã§ã‚る。
ã‚ã‚‹ 2 ã¤ã®ä¸‰è§’å½¢ã«ã¤ã„ã¦ã€ä»¥ä¸‹ã®æ¡ä»¶ã®ã†ã¡ 1 ã¤ã§ã‚‚満ãŸã—ã¦ã„ã‚Œã°ã€ãã® 2 ã¤ã®ä¸‰è§’å½¢ã¯åˆåŒã¨ãªã‚‹ã€‚ã“れを三角形ã®åˆåŒæ¡ä»¶ã¨ã„ã†ã€‚ã“ã®æ¡ä»¶ã¯ã€Œä¸‰ã¤ã®æ¡ä»¶ã®ã†ã¡ã€ã©ã‚Œã‹ãŒä¸Žãˆã‚‰ã‚Œã‚Œã°ä¸‰è§’å½¢ã¯æ±ºå®šã•ã‚Œã‚‹ã€ã€ã€Œç›¸ä¼¼ã®ç‰¹åˆ¥ãªå ´åˆã§ã‚ã‚‹ã€ï¼ˆã“ã‚Œã¯ä¸€èˆ¬ã®å¤šè§’å½¢ã«ã¤ã„ã¦ã‚‚æˆã‚Šç«‹ã¤ï¼‰ã¨è§£é‡ˆã™ã‚‹äº‹ã‚‚ã§ãる。
- 三辺相ç‰: 対応ã™ã‚‹ 3 辺ã®é•·ã•ãŒãã‚Œãžã‚Œç‰ã—ã„
- 二辺夾(挟)角相ç‰: 対応ã™ã‚‹ 2 辺ã®é•·ã•ã¨ã€æŒŸã¾ã‚Œã‚‹è§’ã®å¤§ãã•ãŒãã‚Œãžã‚Œç‰ã—ã„
- 二角夾(挟)辺相ç‰: 対応ã™ã‚‹ 2 角ã®å¤§ãã•ã¨ã€æŒŸã¾ã‚Œã‚‹è¾ºã®é•·ã•ãŒãã‚Œãžã‚Œç‰ã—ã„
ãªãŠã€äºŒè§’夾辺相ç‰ã«ã¤ã„ã¦ã¯ã€ã€Œä¸€è¾ºä¸¡ç«¯è§’相ç‰ã€ãªã©ã®è¡¨è¨˜ã‚‚ã¿ã‚‰ã‚Œã‚‹ã€‚ã¾ãŸã€ä¸‰è§’å½¢ã®å†…角ã®å’ŒãŒ 180 度ã§ã‚る事を考ãˆã‚Œã°ã€å¿…ãšã—ã‚‚ã€è¾ºã‚’挟む 2 角ãŒä¸Žãˆã‚‰ã‚Œã¦ã„ãªãã¨ã‚‚良ã„事ãŒåˆ†ã‹ã‚‹ã€‚
ã“ã‚Œã«å¯¾ã—ã¦ã€2 辺㨠1 角ãŒç‰ã—ã„å ´åˆã«ã¯ã€ãã‚Œã ã‘ã§ã¯åˆåŒã§ã‚ã‚‹ã¨ã¯ã„ãˆãªã„。例を図 13 ã«ç¤ºã™ã€‚図 13 ã®å ´åˆã€ä¸‰è§’å½¢ ABC 㨠A'B'C' ã«ã¤ã„ã¦ã€è¾º AB 㨠A'B', AC 㨠A'C', 角 ABC 㨠A'B'C' ãŒç‰ã—ã„ãŒã€åˆåŒã§ã¯ãªã„。
ã¾ãŸã€1 角ãŒç›´è§’ã§ã‚ã‚‹å ´åˆã€æ¬¡ã®ã‚ˆã†ãªåˆåŒæ¡ä»¶ã‚‚考ãˆã‚‰ã‚Œã‚‹ã€‚
- 斜辺ã¨ä»–ã®ä¸€è¾ºç›¸ç‰
- 斜辺ã¨ä¸€ã¤ã®é‹è§’相ç‰
[編集] 相似æ¡ä»¶
ã‚ã‚‹ 2 ã¤ã®ä¸‰è§’å½¢ã«ã¤ã„ã¦ã€ä»¥ä¸‹ã®æ¡ä»¶ã®ã†ã¡ 1 ã¤ã§ã‚‚満ãŸã—ã¦ã„ã‚Œã°ã€ãã® 2 ã¤ã®ä¸‰è§’å½¢ã¯ç›¸ä¼¼ã§ã‚る。
- 三辺比相ç‰ï¼ˆä¸‰è¾ºã®æ¯”相ç‰ï¼‰: 対応ã™ã‚‹ 3 組ã®è¾ºã®é•·ã•ã®æ¯”ãŒç‰ã—ã„
- 二辺比夾(挟)角相ç‰ï¼ˆäºŒè¾ºã®æ¯”ã¨å¤¾ï¼ˆæŒŸï¼‰è§’相ç‰ï¼‰: 対応ã™ã‚‹ 2 組ã®è¾ºã®é•·ã•ã®æ¯”ã¨ã€æŒŸã¾ã‚Œã‚‹è§’ã®å¤§ãã•ãŒãã‚Œãžã‚Œç‰ã—ã„
- 二角相ç‰: 対応ã™ã‚‹ 2 組ã®è§’ã®å¤§ãã•ãŒãã‚Œãžã‚Œç‰ã—ã„
「三辺ã®æ¯”相ç‰ã€ã«ã¤ã„ã¦ã€ã“ã‚Œã¯ã€ã‚る三角形ã¨ã€ã¾ãŸåˆ¥ã®ä¸‰è§’å½¢ã«ã¤ã„ã¦ã€å¯¾å¿œã™ã‚‹è¾ºã®é•·ã•ãŒãã‚Œãžã‚Œç‰ã—ã„ã“ã¨ã‚’言ã£ã¦ã„る。 ã¾ãŸã€ã‚る三角形 A ã«ãŠã„ã¦ã€è¾ºã®é•·ã•ã®æ¯”ãŒã€p : q : r ã§ã‚ã‚Šã€åˆ¥ã®ä¸‰è§’å½¢ B ã«ãŠã„ã¦ã€è¾ºã®é•·ã•ã®æ¯”ã‚‚ã€p : q : r ã§ã‚ã‚‹å ´åˆã«ã¯ã€ä¸‰è§’å½¢ A ã®è¾ºã®é•·ã•ãŒ ap, aq, ar ã¨ãŠã‘ã¦ã€ä¸‰è§’å½¢ B ã®è¾ºã®é•·ã•ãŒ bp, bq, br ã¨ãŠã‘る。ã™ã‚‹ã¨ã€ap : bp = aq : bq = ar : br = a : b ã§ã‚ã‚Šã€ç›¸ä¼¼ã¨ã„ãˆã‚‹ã€‚
特ã«ã€æ£ä¸‰è§’形(内角ãŒå…¨ã¦60度)ã¨ç›´è§’二ç‰è¾ºä¸‰è§’形(内角ãŒ90,45,45度)ã«ã¤ã„ã¦ã¯äº’ã„ã«ç›¸ä¼¼ã§ã‚る。
[編集] 三角形(トライアングル)をå«ã‚€èªž
- パスカルã®ä¸‰è§’å½¢
- ãƒã‚¤ãƒ³ãƒªãƒƒãƒ’ã®ä¸‰è§’å½¢
- 三角州
- 三角点
- 三角貿易
- 三角町
- トライアングル
- 鉄ã®ãƒˆãƒ©ã‚¤ã‚¢ãƒ³ã‚°ãƒ«
- 地域å
- ナãƒå¼·åˆ¶åŽå®¹æ‰€ã®ãƒãƒƒã‚¸