Kroneckerovo delta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například $δ 12 = 0$ , ale $δ 33 = 1$ . Zapisuje se symbolem δ_ij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{je-li } i=j \\ 0 & \mbox{je-li } i \ne j \end{matrix}\right.$

nebo, při použití Iversonových závorek:

$\delta_{ij} = [i=j]\,$

[editovat] Vlastnosti delta funkce

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro $j\in\mathbb Z$ :

$\sum_{i=-\infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j.$

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),$

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako $\delta_{ij}\,$ zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat $\delta^j_i$ s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

[editovat] Zobecnění delta funkce

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

$\delta^{j_1,j_2,\ldots,j_n}_{i_1,i_2,\ldots,i_n}:= \prod_{k=1}^n \delta_{i_k,j_k}$ .

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

[editovat] Kroneckerovo delta jako tenzor

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

$\delta^{\underline{m}}_{\underline{n}} = \delta^i_j \ \boldsymbol{\mathrm{d}}_{\underline{n}}x^j \otimes \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},$

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako $\delta^i_j$ tak, že $\delta^i_j = 1$ je-li $i=j\,$ a $\delta^i_j = 0$ jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy $δ$ snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota $δ i j$ , resp. $δ i j$ , obecně jiná.