David Hilbert
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David Hilbert (* 23. Januar 1862 in Königsberg, Ostpreußen; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten. Sein Werk ist von außerordentlicher Bedeutung in der Mathematik und der mathematischen Physik.
Viele seiner Arbeiten begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Seine Vorschläge zu den Grundlagen der Mathematik („Hilbertprogramm“) führten zu einer kritischen Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Mit seiner Rede auf dem Welt-Mathematikerkongress im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, bestimmte er die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Leben
[Bearbeiten] Königsberg
Hilbert wurde 1862 als Sohn einer alten ostpreußischen Juristenfamilie in Königsberg geboren. Er besuchte in seiner Heimatstadt als Schüler zunächst das Friedrichskollegium und wechselte ein Jahr vor dem Abitur auf das mehr naturwissenschaftlich-mathematisch orientierte Wilhelms-Gymnasium. Mit dem Sommersemester 1880 begann er das Studium der Mathematik an der Albertina in Königsberg. Die Albertina konnte damals auf eine glänzende Tradition in der Mathematik zurückblicken und galt für die Mathematik als eine Ausbildungsstätte ersten Ranges. Hier hatten unter vielen anderen Jacobi, Bessel, Richelot, und der Physiker Neumann gelehrt und gearbeitet. Zu Hilberts Lehrern gehörte der aus Heidelberg kommende Heinrich Weber. Wohl durch Vermittlung Webers verbrachte Hilbert sein zweites Semester in Heidelberg, kehrte danach jedoch an die Albertina zurück. Weber erkannte und förderte frühzeitig Hilberts mathematische Begabung.
Begegnung und Austausch mit Minkowski und Hurwitz
Während des Studiums lernte Hilbert seinen zwei Jahre jüngeren Kommilitonen Hermann Minkowski kennen, der aus einer jüdischen Familie aus Litauen, die nach Ostpreußen eingewandert war, stammte. Mit Minkowski verband ihn eine lebenslange enge Freundschaft. 1883 wurde Lindemann der Nachfolger auf dem Lehrstuhl (Ordinariat) von Weber und 1884 wurde Hurwitz auf den zweiten Mathematik-Lehrstuhl (das Extraordinariat) berufen. Der regelmäßige wissenschaftliche Austausch mit Hurwitz und Minkowski wurde für Hilbert prägend. Lindemann hatte dagegen nur wenig Einfluss auf Hilbert, er schlug ihm jedoch das Thema seiner Doktorarbeit vor. 1885 wurde Hilbert mit der Arbeit „Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen“ in der Philosophischen Fakultät promoviert.
Nach der Promotion begab sich Hilbert auf eine "Studienreise", die ihn an verschiedene mathematische Forschungsstätten in Deutschland führte. Wesentlich wurde dabei die Begegnung mit Felix Klein, der damals in Leipzig wirkte. Klein erkannte ebenfalls die hohe Begabung Hilberts und es entwickelte sich zwischen den beiden eine intensive wissenschaftliche Korrespondenz. Wesentlich auf Betreiben Kleins wurde Hilbert 10 Jahre später auf den Lehrstuhl in Göttingen berufen.
1886 habilitierte sich Hilbert mit einer Arbeit über invariantentheoretische Untersuchungen im binären Formengebiet und wurde Privatdozent. Nachdem Hurwitz 1892 einen Ruf nach Zürich angenommen hatte, wurde Hilbert dessen Nachfolger im Extrordinariat. 1893 folgte Lindemann einem Ruf nach München und Hilbert wurde nun Ordinarius. Hilbert konnte durchsetzen, dass sein Freund Minkowski auf das vakant gewordene Extraordinariat nach Königsberg berufen wurde.
1892 heiratete er Käthe Jerosch, mit der er seit langem befreundet war.
[Bearbeiten] Göttingen
1895 erfolgte auf Betreiben von Felix Klein die Berufung an die Universität Göttingen. 1902 konnte Hilbert mittels eines Rufes nach Berlin durchsetzen, dass sein Freund Minkowski auf das Extraordinariat berufen wurde.
Im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts hat Hilbert wesentlichen Anteil an der Entwicklung dieser Universität zu einem führenden mathematisch-naturwissenschaftlichen Lehr- und Forschungszentrum gehabt; er blieb ihr, trotz zahlreicher Angebote anderer Universitäten und Akademien, bis zu seiner Emeritierung 1930 treu.
[Bearbeiten] Werk
Im Folgenden werden Hilberts wichtigste Beiträge zu einzelnen Bereichen der Mathematik genauer beschrieben.
[Bearbeiten] Algebraische Geometrie
Bis etwa 1893 leistete er Beiträge zur Invariantentheorie. Unter anderem bewies er den hilbertschen Basissatz (jedes Ideal in einem Polynomring über einem Körper ist endlich erzeugt). In seinem Nullstellensatz zeigte er den eindeutigen Zusammenhang von Nullstellen von polynomialen Gleichungen und Polynomidealen. Damit verband er Geometrie und Algebra, was zur Entwicklung der algebraischen Geometrie führte.
[Bearbeiten] Zahlentheorie
In seinem bedeutenden Werk „Zahlbericht“ von 1897 (algebraische Zahlentheorie) fasste er Arbeiten von Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind mit eigenen Ideen zusammen. Ein wichtiger Satz aus dieser Arbeit wird immer noch unter der dort verwendeten Nummerierung zitiert: Hilberts Satz 90.
[Bearbeiten] Geometrie
Hilberts Bestreben war es, die bislang sehr der Anschaulichkeit verhaftete, noch im wesentlichen auf Euklid zurückgehende Geometrie möglichst vollständig von irgendwelchen Begriffen aus der Anschauungswelt abzulösen und rein axiomatisch zu begründen. Eine solche aximatische Begründung erschien Hilbert und vielen mathematischen Zeitgenossen unbedingt notwendig, da die zuvor verwendeten Begriffe aus der Anschauungswelt nicht die notwendige mathematische Exaktheit hatten und das darauf erbaute mathematische Gebäude der Geometrie somit auf „wackeligen Füßen“ zu stehen schien.
In seinem fundamentalen, 1899 veröffentlichten Werk Grundlagen der Geometrie entwarf er für die euklidische Geometrie ein vollständiges Axiomensystem und entwickelte darauf aufbauend eine streng axiomatisch begründete Geometrie. Die von Hilbert verwendeten Begriffe „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“ etc. haben keinen Bezug zur Anschauung mehr, wie es noch Euklid versucht hatte (z. B. „Ein Punkt ist, was keine Teile hat.“), sondern sind rein axiomatisch definiert. Hilbert wird der Ausspruch zugeschrieben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel“ sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind.
[Bearbeiten] Hilberts 23 Probleme
1900 stellte er auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris eine Liste von 23 mathematischen Problemen vor, wobei er in visionärer Weise die Kernprobleme der Mathematik im folgenden Jahrhundert zu umreißen versuchte. Diese Hilbertschen Probleme wurden zur Leitschnur einer ganzen Generation von Mathematikern, und die Lösung eines jeden Problems wurde als große Leistung angesehen. Auch heute noch sind einige Probleme ungelöst (das berühmteste ist vielleicht die Frage nach den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion, Hilberts 8. Problem).
[Bearbeiten] Logik und Grundlagen der Mathematik
Hilbert gilt als Begründer und exponiertester Vertreter der Richtung des Formalismus in der Mathematik.
1920 stellte er die Forderung auf, die Mathematik vollständig auf einem Axiomensystem aufzubauen, das nachweislich widerspruchsfrei sein sollte. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik). Dieses Bemühen erlitt einen herben Rückschlag mit der Veröffentlichung des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes durch Kurt Gödel 1930. Weiterhin formulierte Hilbert den später nach ihm benannten Hilbert-Kalkül, der unter anderem die wichtige Schlussregel des Modus Ponens umfasst.
[Bearbeiten] Analysis
In der Variationsrechnung stellte Hilbert das von Riemann in dessen Abbildungssatz verwendete Dirichlet-Prinzip auf feste Grundlagen. In den Integralgleichungen schloss er einige Lücken von Fredholm im Beweis der fredholmschen Alternative. Diese Themen flossen wesentlich in die Entwicklung der Funktionalanalysis ein. Insbesondere der wichtige Hilbert-Raum ist untrennbar mit seinem Namen verbunden.
[Bearbeiten] Mathematische Physik
Hilberts Arbeiten zu Funktionenräumen (Hilbert-Raum) und partiellen Differentialgleichungen gehören heute zu den Grundlagen der mathematischen Physik. Der Einfluss von Hilberts Vorlesungen war so übermächtig, dass sein Schüler Richard Courant Hilbert, ohne dass dieser eine einzige Seite geschrieben zu haben scheint, als Koautor auf den Titel seines 1924/37 erschienenen zweibändigen Lehrbuchs Methoden der mathematischen Physik setzte. Hilbert erklärte sein Interesse für die mathematische Physik mit der Bemerkung „Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer.“
[Bearbeiten] Allgemeine Relativitätstheorie
Am 20. November 1915, fünf Tage vor Einstein, reichte Hilbert eine Arbeit zur Allgemeinen Relativitätstheorie ein, die zur einsteinschen Theorie äquivalent war, allerdings ohne die einsteinschen Feldgleichungen. Seine Arbeit erschien aber erst nach der einsteinschen. Hilbert hat niemals die Urheberschaft für die Allgemeine Relativitätstheorie beansprucht, was wahrscheinlich auch nicht gerechtfertigt gewesen wäre, da er in seiner Veröffentlichung auf Einstein verweist.
[Bearbeiten] Hilberts Vermächtnis
Hilbert wehrte sich immer gegen eine pessimistische Sicht der Wissenschaft im Sinne eines ignoramus et ignorabimus. Sein Glaube, dass wir die Welt verstehen können, zeigt sich in seiner Grabinschrift: Wir müssen wissen, und wir werden wissen.
[Bearbeiten] Zitate
- In der Wissenschaft gibt es kein Ignorabimus. und: Wir müssen wissen, wir werden wissen! (Vortrag und Radioansprache auf dem Mathematikerkongress 1930 in Königsberg)
- Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. in: "Über das Unendliche" , Mathematische Annalen 95
- Aber meine Herren, eine Fakultät ist doch keine Badeanstalt! - Erwiderung auf die Gegner einer Habilitation von Emmy Noether. Die Bemerkung spielt darauf an, dass damals in Badeanstalten Männer und Frauen noch streng getrennt badeten.
- Wie im Leben der Völker das einzelne Volk nur dann gedeihen kann, wenn es auch allen Nachbarvölkern gut geht, und wie das Interesse der Staaten es erheischt, daß nicht nur innerhalb jedes einzelnen Staates Ordnung herrsche, sondern auch die Beziehungen der Staaten unter sich gut geordnet werden müssen, so ist es auch im Leben der Wissenschaften. aus David Hilbert: Axiomatisches Denken in Mathematische Annalen 8, Seiten 405--415, 1918, auch enthalten in David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Springer 1932.
[Bearbeiten] Nach David Hilbert benannte Begriffe und Sätze
- Hilbert-Raum
- Hilbert-Matrix
- Hilbert-Kurve
- Hilbert-Transformation
- Hilbert-Kalkül
- Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie
- Hilbertscher Basissatz
- Hilbertscher Nullstellensatz
- Hilbertscher Syzygiensatz, siehe dazu auch Syzygium.
- Hilberts Hotel
- Hilberts Satz 90
[Bearbeiten] Schriften
- Die Grundlagen der Physik, 1915
- Gesammelte Abhandlungen. Julius Springer, Berlin.
- Erster Band: Zahlentheorie. 1932 xiv 539 pp.
- Zweiter Band: Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. 1933 viii 453 pp.
- Dritter Band: Analysis, Grundlagen der Mathematik, Physik, Verschiedenes, Lebensgeschichte. 1935 vii 435 pp.
- Übersetzung: Foundations of Geometry. 1902 Gutenberg eText v 87 pp
[Bearbeiten] Literatur
- Constance Reid: Hilbert. Copernicus Books, New York, 1996, ISBN 0-387-94674-8 (maßgebliche Hilbert-Biographie).
- Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit 36(5), S. 230–235 (2005).
- Jules Leveugle: La Relativité, Poincaré et Einstein, Planck, Hilbert. Paris 2004
- J. J. O'Connor und E. F. Robertson: David Hilbert. In: MacTutor History of Mathematics, Juli 1999
[Bearbeiten] Weblinks
- Literatur von und über David Hilbert im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
- http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/hilbert.html
- http://www.math.uni-goettingen.de/Personen/Bedeutende_Mathematiker/hilbert.html
- http://finanz.math.tu-graz.ac.at/~predota/old/history/mathematiker/hilbert.html
- http://www.mathematik.ch/mathematiker/hilbert.php
- Radioansprache 1930 als Tondokument und als Textdokument (Zitat „Wir müssen wissen, wir werden wissen.“)
| Personendaten | |
|---|---|
| NAME | Hilbert, David |
| KURZBESCHREIBUNG | deutscher Mathematiker |
| GEBURTSDATUM | 23. Januar 1862 |
| GEBURTSORT | Königsberg (Preußen) |
| STERBEDATUM | 14. Februar 1943 |
| STERBEORT | Göttingen |
