Ecuaciones de Maxwell

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Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagnéticas propagándose con velocidad $v f$ :

$v_f = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$

El valor numérico de esta cantidad, que depende del medio material, coincide con el valor de la velocidad de la luz en dicho medio, con lo cual Maxwell identificó la luz con una onda electromagnética, unificando la óptica con el electromagnetismo.

Tabla de contenidos

1 Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell
2 Resumen de las ecuaciones
3 En detalle
4 Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS
5 Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad (sistema cgs)
6 Véase también
7 Bibliografía recomendada
- 7.1 Grado
- 7.2 Postgrado

[editar] Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell

La formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notación vectorial. La formulación original de Maxwell databa de 1865 y contenía 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intentó una formulación simplificada que finalmente no resultó popular. La formulación vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetrías intrínsecas en las ecuaciones haciendo más fácil su utilización e inspirando aplicaciones posteriores.

[editar] Resumen de las ecuaciones

[editar] Caso general

Nombre	Forma diferencial	Forma integral
Ley de Gauss:	$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$	$\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{A} = \int_V \rho dV$
Ley de Gauss para el campo magnético (ausencia de monopolos magnéticos):	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
Ley de Faraday:	$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \ { d \over dt } \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A}$
Ley de Ampère generalizada:	$\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}} {\partial t}$	$\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = \int_S \vec{J} \cdot d \vec{A} + {d \over dt} \int_S \vec{D} \cdot d \vec{A}$

donde la siguiente tabla proporciona el significado de cada símbolo y su unidad de medida en el SI:

Símbolo	Significado	Unidad de medida SI
$\vec{E}$	campo eléctrico	volt por metro
$\vec{H}$	campo magnético	ampere por metro
$\vec{D}$	densidad de campo eléctrico	coulomb por metro cuadrado
$\vec{B}$	densidad de campo magnético	tesla, o equivalentemente, weber por metro cuadrado
$\ \rho \$	densidad de carga eléctrica	coulomb por metro cúbico
$\vec{J}$	densidad de corriente	ampere por metro cuadrado
$d\vec{A}$	vector del elemento diferencial de superficie normal a la superficie S	metros cuadrados
$dV \$	elemento diferencial de volumen encerrado por la superficie S	metros cúbicos
$d \vec{l}$	vector del elemento de longitud del contorno que limita la superficie S	metros
$\nabla \cdot$	divergencia	por metro
$\nabla \times$	rotacional	por metro

Aunque se hayan utilizado las unidades del Sistema Internacional, las ecuaciones de Maxwell permanecerán invariantes en muchos otros sistemas de unidades (y con únicamente cambios menores en las demás). Los sistemas de medidas más utilizados son el SI (en ingeniería, en electrónica y en experimentos físicos prácticos) y las unidades de Planck o unidades naturales (en física teórica, cosmología y física cuántica).

La segunda ecuación es equivalente a afirmar que el monopolo magnético no existe. La fuerza ejercida sobre una partícula cargada por los campos eléctricos y magnético viene dada por la ecuación de la Fuerza de Lorentz:

$\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}),$

donde $q \$ es la carga de la partícula y $\vec{v} \$ es la velocidad de ésta.

Las ecuaciones de Maxwell se aplican generalmente a escalas macroscópicas de los campos, que varían enormemente a escalas microscópicas cercanas al tamaño atómico.

[editar] En medios lineales

En medios lineales, la polarizabilidad o polarización eléctrica $\vec{P}$ (en culombios por metro cuadrado) y la magnetización o polarización magnética $\vec{M}$ (en amperios por metro) vienen dadas por:

$\vec{P} = \chi_e \varepsilon_0 \vec{E}$

$\vec{M} = \chi_m \vec{H}$

y los campos $\vec{D}$ y $\vec{B}$ están relacionados con $\vec{E}$ y $\vec{H}$ por:

$\vec{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \vec{E} \ \ = \ \ \varepsilon \mathbf{E}$

$\vec{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \vec{H} + \vec{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \vec{H} \ \ = \ \ \mu \vec{H}$

donde:

$χ e$ es la susceptibilidad eléctrica del material,

$χ m$ es la susceptibilidad magnética del material,

ε es la permitividad eléctrica del material, y

μ es la permeabilidad magnética del material

En medios no-dispersivos e isótropos, ε y μ son escalares que no dependen del tiempo, por lo que las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

$\nabla \cdot \varepsilon \vec{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mu \vec{H} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = - \mu \frac{\partial \vec{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

En un medio homogéneo, ε y μ son constantes independientes de la posición.

En general, ε y μ pueden ser tensores de rango 2 (matrices 3x3) describiendo medios birrefringentes (anisótropos). Además, aunque en general suele ignorar la dependencia con el tiempo (y la frecuencia) de estas constantes, todo material real posee cierta dispersión por la que ε y/o μ dependen de la frecuencia (y la casualidad obliga a esta dependencia a cumplir las relaciones de Kramers-Kronig).

[editar] En el vacío, sin cargas ni corrientes

El vacío es un medio lineal, homogéneo, isótropo y no dispersivo. Las constantes de proporcionalidad en el vacío son ε₀ y μ₀ (descartando las leves no-linearidades debidas a efectos cuánticos).

$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}$

$\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$

Como no hay ni corriente ni carga eléctrica en el vacío, las ecuaciones de Maxwell en espacio libre son:

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \cdot \vec{H} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = - \mu_0 \frac{\partial\vec{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \vec{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

Estas ecuaciones tienen soluciones sencillas para ondas planas sinusoidales, con campos eléctricos y magnéticos con direcciones ortogonales entre ellos y ortogonales a la dirección de propagación. Su velocidad de propagación es

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Maxwell descubrió que esta cantidad c era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz y para la permitividad y permeabilidad se resumen en la siguiente tabla:

Símbolo	Nombre	Valor numérico	Unidad de medida SI	Tipo
$c \$	Velocidad de la luz	$2.998 \times 10^{8}$	metros por segundo	definido
$\ \varepsilon_0$	Permitividad	$8.854 \times 10^{-12}$	faradios por metro	derivado
$\ \mu_0 \$	Permeabilidad	$4 \pi \times 10^{-7}$	henrios por metro	definido

[editar] En detalle

[editar] Densidad de carga y campo eléctrico

$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$ ,

donde $ρ$ es la densidad de carga libre (en C/m³), sin incluir cargas de los dipolos, y $\vec{D}$ es el campo de desplazamiento eléctrico (en C/m²). Esta ecuación corresponde a la ley de Coulomb para cargas estacionarias en el vacío.

La forma integral equivalente se obtiene con el teorema de la divergencia y se conoce como la ley de Gauss:

$\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{A} = Q_\mathrm{encerrada}$

donde $d\vec{A}$ es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, y $Q encerrada$ es la carga encerrada por la superficie.

En un medio lineal, $\vec{D}$ está directamente relacionado con el campo eléctrico $\vec{E}$ mediante una constante dependiente del material llamada permitividad, $ε$ :

$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$ .

Cualquier material se puede suponer como linear siempre que el campo eléctrico no sea demasiado grande. La permitividad en el vacío se escribe como $ε 0$ y aparece en:

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho_t}{\varepsilon_0}$

donde, $ρ t$ es la densidad de carga total.

$ε$ puede escribirse también como $\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r$ , donde $ε r$ es la permitividad relativa del material o su constante dieléctrica.

Véase también: ecuación de Poisson

[editar] La estructura del campo magnético

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

$\vec{B}$ es la densidad de flujo magnético (en teslas, T), también llamada inducción magnética.

Su forma integral equivalente:

$\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

Esta ecuación indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. Esto expresa que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo. Así pues, esto expresa la no existencia del monopolo magnético. En caso que algún día se encontrase evidencias de la existencia del monopolo magnético, la Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

$\nabla \cdot \vec B = \rho_m$

donde $ρ m$ correspondería a la densidad de monopolos magnéticos. Esta densidad de carga lleva aparejada una densidad de corriente $\vec J_m$ , la cual obliga a modificar la ley de Faraday, que pasaría a escribirse como

$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} -\vec J_m$

Asimismo, habría que ampliar la expresión de la Ley de Fuerza de Lorentz, para incluir la fuerza sobre cargas magnéticas

$\vec F = q(\vec E + \vec v \times\vec B) +q_m (\vec H-\vec v\times\vec D)$

con $\vec H=\vec B/\mu_0$ y $\vec D = \varepsilon_0\vec E$ el campo magnético y el desplazamiento eléctrico en el vacío.

[editar] Variación de flujo magnético y campo eléctrico

$\nabla \times \vec{E} = -\frac {\partial \vec{B}}{\partial t}$

Su forma integral equivalente es:

$\oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac {d\Phi_{\vec{B}}} {dt}$ donde $\Phi_{\vec{B}} = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{A}$

donde

Φ_B es el flujo magnético a través del área A descrita por la segunda ecuación

E es el campo eléctrico generado por el flujo magnético

l es la curva cerrada por la cual la corriente es inducida.

La fuerza electromotriz (a veces escrita como $\mathcal{E}$ , que no debe confundirse con la permitividad) es igual al valor de esta integral.

Esta ley corresponde a la ley de Faraday de la inducción electromagnética.

El signo negativo es necesario para mantener la conservación de la energía. Es tan importante que tiene nombre: Ley de Lenz.

Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generador variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

[editar] La fuente del campo magnético

$\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac {\partial \vec{D}} {\partial t}$

donde $\vec{H}$ es la intensidad de campo magnético (en A/m), relacionada con la densidad de campo magnético $\vec{B}$ por una constante llamada permeabilidad μ (B = μH), y $\vec{J}$ es la densidad de corriente.

En el vacío, la permeabilidad es μ = μ₀ = 4π×10^-7 W/A·m y la permitividad es ε₀. Por lo que la ecuación queda como:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Su forma integral equivalente:

$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_\mathrm{rodeada} + \mu_0\varepsilon_0 \int_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \cdot d \vec{A}$

I_rodeada es la corriente rodeada por la curva $\vec{l}$ .

En algunos casos, esta forma integral de la ley de Ampère-Maxwell aparece como:

$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_\mathrm{enc} + I_\mathrm{d,enc})$

siendo

$\varepsilon_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot d \vec{A}$

la corriente de desplazamiento.

Si la densidad de flujo eléctrico no varía rápidamente, el segundo término de la parte derecha es despreciable y la ecuación se reduce a la ley de Ampère.

[editar] Ley de conservación de la carga

Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas la ley de conservación de la carga

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \nabla\cdot\vec J=0$

o, en forma integral

$-\frac{d Q}{dt} = \oint \vec J\cdot d\vec A$

Esta ley expresa que la carga no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, y que si dada una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema.

[editar] Potencial escalar y potencial vector

Maxwell probó que su conjunto de cuatro ecuaciones pueden ser derivadas de una función escalar llamada potencial escalar (Φ) y una función vectorial llamda potencial vector (A). Las dos ecuaciones que no contienen a las cargas se cumplen idénticamente si se definen, en el sistema de unidades cgs, el campo eléctrico y magnético mediante las dos siguientes relaciones:

$\mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \phi \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\qquad (*)$

Las otras dos ecuaciones se satisfacen si además las funciones se toman en relación a las cargas y corrientes de tal manera que se cumpla que:

$\Delta\phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = -\frac{4\pi}{c}\rho \qquad \Delta\mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} = -\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}$

Una vez conocidos estas dos funciones los campos eléctricos y magnéticos pueden derivarse muy sencillamente mediante las ecuaciones (*).

[editar] Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS

A veces se utilizan en otro sistema de unidades (Gaussianas o CGS), que a pesar de estar desaconsejado, es muy utilizado en países anglosajones:

$\nabla \cdot \vec E = 4 \pi \rho$
$\nabla \cdot \vec B = 0$
$\nabla \times \vec E = -\frac 1c \frac{\partial \vec B}{\partial t}$
$\nabla \times \vec B = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4\pi}c \vec J$

[editar] Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad (sistema cgs)

En relatividad general el campo electromagnético se representa viene dado por un tensor 2-covariante y antisimétrico. Fijado un punto del espacio-tiempo y un sistema de coordenadas galileano (donde los símbolos de Christoffel se anulan en el punto escogido) el tensor campo electromagnético se expresa en términos de la parte eléctrica y parte magnética del campo, tal como son observados por ese observador galileano:

$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{01} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{02} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{03} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$

Usando el tensor de campo electromagnético, las cuatro ecuaciones vectoriales de Maxwell se reducen a sólo dos ecuaciones tensoriales. En teoría especial de la relatividad (y usando unidades cgs) estas dos ecuaciones tensoriales son sencillamente:

${\partial F^{\alpha\beta} \over {\partial x^{\alpha}}} = {4 \pi \over c }J^{\beta} \qquad {\partial F_{\alpha\beta} \over \partial x^\gamma} + {\partial F_{\gamma\alpha} \over \partial x^\beta} + {\partial F_{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = \epsilon_{\mu\beta\gamma}g^{\alpha\mu}{\partial F^{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = 0$

Donde se ha usado el convenio de sumación de Einstein y $J β$ son las componentes del cuadrivector densidad de corriente. Esas ecuaciones se pueden escribir en una forma mucho más abstracta en términos del operador dual de Hodge y la diferencial exterior:

$\mathrm{d}F = 0 \qquad *\mathrm{d}(*F) = \frac{4\pi}{c} J \qquad (1)$

Donde $F := F_{\alpha\beta} dx^\alpha \otimes dx^\beta$ es la 2-forma que representa tensorialmente el campo electromagnético y $J : = J β d x β$ la 1-forma que representa la densidad de corriente relativista. En teoría de la relatividad general las ecuaciones toman esencialmente la misma forma que la teoría especial, sólo que las derivadas parciales deben substituirse por las derivadas covariantes asociadas al tensor métrico:

$\nabla_\alpha F^{\alpha\beta} = {4 \pi \over c }J ^{\beta} \qquad \nabla_\gamma F^{\alpha\beta} + \nabla_\beta F^{\gamma\alpha} + \nabla_\alpha F^{\beta\gamma} = \epsilon_{\alpha\beta\gamma}g^{\mu\alpha}\nabla_\mu F^{\beta\gamma} = 0$

$\nabla_\alpha F^{\beta\gamma} := \frac{\partial F^{\beta\gamma}}{\partial x^\mu} + \Gamma_{\alpha\mu}^\beta F^{\mu\gamma} + \Gamma_{\alpha\mu}^\gamma F^{\beta\mu}$

Debido a las propiedades de la diferencial exterior las ecuaciones (1) también son válidas en relatividad general, ya que aunque se usen derivadas covariantes en lugar de derivadas parciales convencionales la forma de esas ecuaciones no cambia.

[editar] Véase también

[editar] Bibliografía recomendada

[editar] Grado

Griffiths, David J. (1998), Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall. ISBN 013805326X.
Hoffman, Banesh, 1983. Relativity and Its Roots. W. H. Freeman.
Lounesto, Pertti, 1997. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge Univ. Press. Ch. 8
Purcell, Edward M. (1985), Electricity and Magnetism, McGraw-Hill. ISBN 0070049084..
Stevens, Charles F., 1995. The Six Core Theories of Modern Physics. MIT Press. ISBN 0-262-69188-4.
Tipler, Paul (2004), Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.), W. H. Freeman. ISBN 0716708108.

[editar] Postgrado

Jackson, John D. (1998), Classical Electrodynamics (3rd ed.), Wiley. ISBN 047130932X.
Landau, L. D., 1987. The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2). Oxford: Butterworth-Heinemann.
James Clerk Maxwell, 1954. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0486606376.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, 1973. Gravitation. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
Taflove, Allen; Hagness, Susan C. (2005), Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed., Artech House Publishers. ISBN 1-58053-832-0.