Уравнения Максвелла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравне́ния Ма́ксвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1864.

Содержание

1 Уравнения в классической форме
2 Уравнения в Гауссовой системе единиц
- 2.1 В вакууме, без зарядов и токов
3 Детали
4 Релятивистская инвариантность
5 Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм
6 Уравнения Максвелла — Фарадея и Максвелла — Ампера для дифференциальных форм в трёхмерном пространстве
7 Источники
8 См. также

[править] Уравнения в классической форме

Название	Дифференциальная форма	Интегральная форма	Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея	$\operatorname{rot}\,\mathbf{E} = -{\partial \mathbf{B} \over \partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\int_{\partial C} \ {d\mathbf{B}\over dt} \cdot d\mathbf{s}$	Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера (с добавкой Максвелла)	$\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{\mathrm{encl}} + \frac{d \mathbf{\Phi_D}}{dt}$	Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса	$\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = Q_{\mathrm{encl}}$	Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса для магнитного поля (в отсутствии монополей)	$\operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0$	Магнитная индукция не расходится (не имеет источников)
Закон Ома в дифференциальной форме	$\mathbf{j}=\lambda\mathbf{E}$	$-$	Плотность электрического тока прямо пропорциональна напряжённости электрического поля. Это уравнение иногда вводится в систему уравнений Максвелла, чтобы она имела однозначное решение (так как это система с 5 переменными).

Здесь:

ρ — плотность электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³)
j — плотность электрического тока (в единицах СИ — А/м²)
λ — удельная проводимость (электропроводность) (в единицах СИ — м/Ом)
E — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м)
H — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м)
D — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²)
B — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м²= кг·с^-2·А^-1)

rot — дифференциальный оператор ротора
div — дифференциальный оператор дивергенции

[править] Уравнения в Гауссовой системе единиц

[править] В вакууме, без зарядов и токов

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через ε₀ и μ₀ (не учитывая очень малых квантовых эффектов).

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

$\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Максвелл обозначил эту величину c. Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения^[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ	Имя	Численное значение	Единицы измерения СИ	Тип
$c \$	Постоянная скорости света	$2{,}99792458 \times 10^8$	м/с	LT⁻¹
$\ \varepsilon_0$	Электрическая постоянная	$8{,}854 \times 10^{-12}$	Ф / м	L⁻³M⁻¹T⁴I²
$\ \mu_0 \$	Магнитная постоянная	1,2×10⁻⁶	Гн / м	LMT⁻²I⁻²

[править] Детали

[править] Релятивистская инвариантность

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид:

$J^\beta = \partial_\alpha F^{\alpha\beta} \,\!$

$0 = \partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma} \,\!$ ,

где $J^\alpha=(c\rho, \mathbf{j})\,\!$ — 4-ток, а $F^{\alpha\beta}\,\!$ — антисимметрический тензор электромагнитного поля:

$F^{\alpha\beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$

[править] Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

В вакууме ε и μ константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма F в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи

$d\bold{F}=0$ ,

где d — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников

$d * {\bold{F}}=\bold{J}$ ,

где (dual) Hodge star оператор * — это линейное преобразование из пространства 2-формы в дуальное пространство 4-2=2 форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где $1 / 4πε 0 = 1$ . 3-форма J называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности

$d{\bold{J}}=0$ .

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм.

$C:\Lambda^2\ni\bold{F}\mapsto \bold{G}\in\Lambda^{(4-2)}$

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с (dual) Hodge преобразованием. Уравнения Максвелла с учётом среды такие:

$d\bold{F} = 0$

$d\bold{G} = \bold{J}$ ,

где ток J удовлетворяет уравнению непрерывности dJ= 0. Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм $\bold{\theta}^p$ ,

$\bold{F} = F_{pq}\bold{\theta}^p\wedge\bold{\theta}^q$ .

для материальной среды

$G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn}$ ,

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда (dual) Hodge преобразование примет следующий вид

$C_{pq}^{mn} = g^{ma}g^{nb} \epsilon_{abpq} \sqrt{-g}$

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.

[править] Уравнения Максвелла — Фарадея и Максвелла — Ампера для дифференциальных форм в трёхмерном пространстве

Запишем уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм для трёхмерного пространства. Первая половина системы уравнений Максвелла называется уравнения Максвелла-Фарадея. При записи уравнений с использованием дифференциальных форм векторный оператор набла $\nabla$ заменяется на операцию внешнего дифференцирования $\bold{d} \wedge$ по пространству. Для 1-формы E, которая представлена векторной физической величиной, эта операция $\bold{d} \wedge$ есть $\operatorname{rot}$ . Для 2-формы В та же самая операция $\bold{d} \wedge$ является $\operatorname{div}$ . Получаетя уравнение для 2-формы:

$\bold{d} \wedge \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{B} = 0$

и уравнение для 3-формы:

$\bold{d} \wedge \bold{B} = 0$

Все физические величины записаны в единицах СИ. Из теоремы де Рама следует: 2-форма В локально может быть представлена через 1-форму A:

$\bold{B} = \bold{d} \wedge \bold{A}$

Тогда:

$\bold{d} \wedge ( \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{A} ) = 0$

Используя снова теорему де Рама, мы определяем скалярный потенциал электрического поля 0-форму $\bold{\phi}$ . Приравниваем выражение в скобках в последней формуле $-{ \bold{d} \phi}$ и напряжённость электрического поля, следовательно, есть:

$\bold{E} = - \bold{d} \phi \, - \, \partial_t \mathbf{A}$

Представление полей в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала неоднозначно, так как потенциалы A и $\bold{\phi }$ могут отличатся на любую скалярную функцию $\bold{\psi}$ .

$\phi \rarr \phi + \partial_t \psi \,$ , $\, \bold{A} \rarr \bold{A} - \bold{d} \psi$

Такое условие называется условием Лоренца. Эти уравнения не зависят от природы электромагнитной среды.

Вторая половина так называемых уравнений Максвелла (сформулированных в таком виде Хевисайдом) называется уравнения Максвелла-Ампера. Вектор H заменяем на 1-форму H. Вектор D на 2-форму D. Тогда в нотации дифференциальных форм:

$\bold{d} \wedge \bold{H}\, + \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J}$

и уравнение для 3-формы:

$\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e$ .

В правых частях этих выражений находяться плотности. J 2-форма плотности электрического тока, или плотность магнитного потенциала. $\bold{\rho_e}$ 3-форма плотность заряда, или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом $\bold{d} \wedge \bold{d} \wedge \bold{H} = 0$

получим уравнение непрерывности:

$\bold{d} \wedge \bold{J}\, + \, \partial_t \mathbf{\rho_e} = 0$

Все выражения, приведённые выше, можно представить в виде графов Десшампа:

$\begin{matrix} 0-forms:&&&\phi&&&&&\\ &&&{\Big\downarrow}^{-d}&&&&\\ 1-forms:&A&\longrightarrow^{-dt}&E&&&H&\\ &{\Big\downarrow}^{d}&&{\Big\downarrow}^{-d}&&&{\Big\downarrow}^{d}&\\ 2-forms:&B&\longrightarrow^{-dt}&0&D&\longrightarrow^{-dt}&J\\ &{\Big\downarrow}^{d}&&&{\Big\downarrow}^{d}&&{\Big\downarrow}^{d}&\\ 3-forms:&0&&&\rho&\longrightarrow^{-dt}&0\\ \end{matrix}$