Maxwellove jednadžbe

Izvor: Wikipedija

Maxwellove jednadžbe opisuju ovisnost električnog i magnetskog polja o nabojima i strujama, a također i njihovo međudjelovanje do kojeg dolazi kada se polja mijenjaju u vremenu. One su temelj klasične elektrodinamike i teorijske elektrotehnike, a razvio ih je James Clerk Maxwell između 1861. i 1864. godine. Koristeći u to doba poznate zakone: Ampèreov zakon, Faradayev zakon indukcije i Gaussov zakon, te postavivši hipotezu o struji pomaka Maxwell ih je sve skupa ujedinio u skladu sa jednadžbom kontinuiteta.

Sadržaj

1 Prikaz jednadžbi
2 Interpretacija Maxwellovih jednadžbi
3 Maxwellove jednadžbe u makroskopskom mediju (sredstvu)
4 Rješavanje Maxwellovih jednadžbi
5 Veza Maxwellovih jednadžbi i specijalne teorije relativnosti

[uredi] Prikaz jednadžbi

Za razumijevanje slijedećih jednažbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maxwellove se jednadžbe mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i Gaussovom teoremu. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici.

Najuniverzalniji oblik Maxwellovih jednadžbi je onaj koji opisuju elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnom obliku (SI sustav) glasi:

$\vec\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

$\vec\nabla\cdot\vec B = 0$

$\vec\nabla\times\vec E + \frac{\partial\vec B}{\partial t} = 0$

$c^2 \vec\nabla\times\vec B - \frac{\partial\vec E}{\partial t} = \frac {\vec J}{\epsilon_0}$

Gdje je:

$\rho \$ gustoća električnog naboja, količina naboja u jedinici volumena

$\vec J \$ gustoća električne struje, tok naboja u jedinični volumen u jedinici vremena

$\epsilon_0 \$ permitivnost vakuuma

$\ c^2$ kvadrat brzine svjetlosti

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

${ \partial {\rho} \over \partial t} + \nabla \cdot {\vec J} = 0$

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena nužna je i jednadžba za Lorenzovu silu.

$\vec F=q (\vec E + \vec v \times \vec B)$

**Maxwellove jednadžbe u jedinicama SI**
diferencijalni oblik	povezujući zakon	integralni oblik
Gaussov zakon: Izvor električnog polja je električni naboj.	Gaussov	Električni tok kroz zatvorenu plohu jednak je ukupnom električnom naboju u njezinoj unutrašnjosti.
$\vec\nabla\cdot\vec D=\rho$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \vec D\;\cdot\mathrm{d}\vec A=\int_V\rho\;\mathrm{d}V$
Magnetsko polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli).	Gaussov	Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.
$\vec\nabla\cdot\vec B=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \vec B\;\cdot\mathrm{d}\vec A=0$
Faradayev zakon indukcije: Svaka promjena magnetskog polja stvara električno polje.	Stokesov	Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je negativnoj promjeni po vremenu magnetskog toka obuhvaćenog tom krivuljom.
$\vec\nabla\times\vec E+\frac{\partial\vec B}{\partial t}=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\vec E\;\cdot\mathrm{d}\vec s=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\vec B\;\cdot\mathrm{d}\vec A$
Prošireni Ampèreov zakon: Oko vodiča kojim teče struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenjivo električno polje inducirati će magnetsko polje.	Stokesov	Integral vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju struje i vremenske promjene električnog toka obuhvaćenih tom krivuljom.
$\vec\nabla\times\vec H-\frac{\partial\vec D}{\partial t}=\vec J$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\vec H\;\cdot\mathrm{d}\vec s=\int_A\vec J\;\cdot\mathrm{d}\vec A+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int_A\vec D\;\cdot\mathrm{d}\vec A$

[uredi] Interpretacija Maxwellovih jednadžbi

[uredi] Maxwellove jednadžbe u makroskopskom mediju (sredstvu)

Maxwellove jednadžbe opisuju ponašanje električnog i magnetskog polja svugdje u prostoru, ako su poznati svi izvori tj. naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj nabijenih čestica u atomima i nuklearnim jezgrama vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske točke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosječna vrijednost polja i izvora u volumenu koji je velik u usporedbi sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosječne vrijednost nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovo slučaju Maxwellove jedandžbe poprimaju oblik:

$\vec\nabla\cdot\vec D = {\rho}$

$\vec\nabla\cdot\vec B = 0$

$\vec\nabla\times\vec E + \frac{\partial\vec B}{\partial t} = 0$

$\vec\nabla\times\vec H - \frac{\partial\vec D}{\partial t} = {\vec J}$

Gdje je:

$\vec D \$ električni pomak

$\vec H \$ magnetsko polje (u tom slučaju se $\vec B \$ naziva magnetski tok)

Ove veličine nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana cjelokupna kompleksnost interacije polja i sredstva (medija). Moguće je da ove veličine ovise o prethodnom stanju sredstva (histereza), također moguće je da su nelinearne i prostorno anizotropne. Ove jednadžbe za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednadžbe, iako ih je i J.C. Maxwell na sličan način prvobitno formulirao. Veze između $\vec E$ i $\vec D$ te između $\vec B$ i $\vec H$ zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva homogena i izotropna, te da se polja ne mijenjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vrijedi za dielektrične i paramagnetske materijale. Tada vanjsko električno polje stvara polarizaciju $\vec P$ , koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetsko polje stvara magnetizaciju $\vec M$ proporcionalnu magnetskom polju, te vrijedi: