Ákveða

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun $D: \mathbb{R}^n_n \rightarrow \mathbb{R}$ , sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n-víðum vigrum) yfir í rauntölu, sem býr yfir eiginleikum sem gerir vörpunina einstaka, þ.e., ein og aðeins ein slík vörpun er til fyrir hverja heiltölu n.

Vörpunin er lokuð undir samlagningu (baugur)

$D(\bold{v}_1, \ldots ,\bold{v}_i + \bold{v}_i^\prime, \ldots, \bold{v}_n) =$ $D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) + D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i^\prime, \ldots , \bold{v}_n)$
Vörpunin er lokuð undir margföldun við tölu.

$D(\bold{v}_1, \ldots , c\bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) =$ $cD(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots, \bold{v}_n)$
Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:

$D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_i,\ldots , \bold{v}_j, \ldots , \bold{v}_n) = -D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_j, \ldots, \bold{v}_i, \ldots, \bold{v}_n)$
Sé $\mathcal{E} = \{ \bold{e}_1,\ldots , \bold{e}_n \}$ venjulegur grunnur fyrir $\mathbb{R}^n$ er ákveða fjölskyldunnar 1:

$D(\mathcal{E}) = 1$

Ákveðan $D(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots , \bold{v}_n)$ er táknuð $\det\left|\begin{matrix} - \bold{v}_1 - \\ \vdots \\ - \bold{v}_n - \\ \end{matrix}\right|$

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A, og ákveðan af A er $det A$

[breyta] Ákveður 2×2 fylkja

Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem $D(\bold{x}, \bold{y}) = \det\left|\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right| = ad - bc$ fyrir vigrana $\bold{x} = {a \choose b}$ og $\bold{y} = {c \choose d}$ .

Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y.

[breyta] Ákveður 3×3 fylkja

Ákveða 3×3 fylkis $A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix}$ er skilgreind sem

$det(A) = a \det\begin{vmatrix}e & f \\ h & i \\ \end{vmatrix} - b \det\begin{vmatrix}d & f \\ g & i \\ \end{vmatrix} + c \det\begin{vmatrix}d & e \\ g & h \\ \end{vmatrix}$

= a e i + b f g + c d h - a f h - b d i - c e g

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.

[breyta] Almennar reglur um ákveður

$det(A c) = det(A) c$
$det A B = det A det B$
Sé $\det{A} \ne 0$ er A andhverfanlegt fylki.
Séu einhverjar tvær línur í A eins er $det A = 0$ (Sjá Hornalínugeranleiki og Reiknirit Gauss)
Sé einhver lína í A með núll í öllum stökum er $det A = 0$
Sé A n×n efra þríhyrningsfylki er $\det{A} = \prod_{i=1}^n a_{ii}$ , þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
$\det{A^{-1}} = \frac{1}{\det{A}}$
$\det{A^\bold{T}} = \det{A}$ (sjá bylt fylki)
$\det{A} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ þar sem að $λ 1 ...λ n$ eru eiginvigrar A.
$A = \frac{1}{\det{A}} C^\bold{T}$ , þar sem C er hjáþáttafylki A.
$\det{A} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{ib} \det{A_{ib}} = \sum_{i=1}^n a_{ib}C_{ib}$ $= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{bi} \det{A_{bi}} = \sum_{i=1}^n a_{bi}C_{bi}$ fyrir fasta tölu b < n. Þá er $C x y$ xy-hjáþáttur fylkisins A, og $A x y$ er fylkið A þar þar sem að x-ta lína og y-ti dálkur hafa verið fjarlægð. $a x y$ eru þá stakið í x-tu línu, y-ta dálki í A.